قرار دهید
$$I=\langle x_1,\cdots,x_n\rangle$$
در اینصورت میتوانید برای هر
$m$
نشان دهید که توان
m
اُم این ایدهآل برابر است با؛
$$I=\langle x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}|a_1+\cdots+a_n=m\rangle $$
گوشههای این ایدهآلها که توانهای
I
هستند را برای حالت دو متغیره در شکل زیر میبینید.
ادعا میکنیم که
$$C_R(I^m)=\{x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}|a_1+\cdots+a_n=m-1\}$$
که در واقع تکجملهایهایی هستند که در
$I^{m-1}$
قرار میگیرند (چون بوسیلهٔ مولدهای آن تولید میشود، در واقع خود مجموعهٔ مولدی از آن که معرفی کردهایم است) اما در
$I^m$
قرار نمیگیرند چون بوسیلهٔ مولدی که برای آن ارائه دادیم تولید نمیشوند.
توجه داشته باشید که توانهای یک ایدهآل به گونهٔ کاهشی زیرمجموعهٔ یکدیگرند یعنی
$$R=I^0\supseteq I\supseteq I^2\supseteq I^3\supseteq\cdots$$
اکنون اثبات ادعایمان
$$\begin{array}{lcl}x_1^{b_1}\cdots x_n^{b_n}\in C_R(I^m) & \Longleftrightarrow & \forall 1\leq i\leq n\;|\;x_1^{b_1}\cdots x_{i-1}^{b_{i-1}}x_i^{b_i+1}x_{i+1}^{b_{i+1}}\cdots x_n^{b_n}\in I^m\\
& \Longleftrightarrow & b_1+\cdots+(b_i+1)+b_{i+1}+\cdots+b_n=m\\
& \Longleftrightarrow & (\sum_{i=1}^nb_i)+1=m\\
& \Longleftrightarrow & \sum_{i=1}^nb_i=m-1\end{array}$$
اکنون ۶.۱.۱ را به یاد آورید که برای یک تکجملهای
$f=x_1^{c_1}\cdots x_n^{c_n}$
نماد
$P_R(f)$
که کتاب مد نظر شما آن را ایدهآل پارامتری متناظر به تکجملهای
$f$
مینامد را به شکل زیر تعریف میکنیم؛
$$P_R(f)=\langle x_1^{c_1+1},\cdots,x_n^{c_n+1}\rangle$$
اکنون توانهای این ایدهآل به شکل زیر هستند
$$P_R(f)=\langle (x_1^{c_1+1})^{a_1}\cdots(x_n^{c_n+1})^{a_n}|a_1+\cdots+a_n=m\rangle$$
همانند بالا یک تکجملهایِ
$$ x_1^{b_1}\cdots x_n^{b_n}\in C_R((P_R(f))^m)$$
اگر و تنها اگر بتوان توانهایش را به شکل مناسب درآورد
$$ x_1^{b_1}\cdots x_{i-1}^{b_{i-1}}x_i^{b_i+1}x_{i+1}^{b_{i+1}}\cdots x_n^{b_n}=(x_1^{c_1+1})^{a_1}\cdots(x_n^{c_n+1})^{a_n} $$
که جمع
$a_i$
ها
M
شود. اما در آنصورت
$$ x_1^{b_1}\cdots x_{i-1}^{b_{i-1}}x_i^{b_i}x_{i+1}^{b_{i+1}}\cdots x_n^{b_n}= (x_1^{c_1})^{a_1}\cdots(x_i^{c_i})^{a_i}\cdots(x_n^{c_n})^{a_n}.x_1^{a_1}\cdots x_i^{a_i-1}\cdots x_n^{c_n} $$
یعنی تکجملهایمان ضربی از تکجملهای از
$\langle x_1^{c_1},\cdots,x_n^{c_n}\rangle^m $ و تکجملهای از $ C_R(I^m) $
است و چون تکجملهایهای عضو حاصلضرب دو ایدهآل تکجملهای برابر با حاصلضرب تکجملهایهای آن دو تکجملهای است، ثابت کردهایم که گوشهٔ مورد نظر ما مجموعه مولد ایدهآل تکجملهای حاصلضربی زیر است
$$\langle x_1^{c_1},\cdots,x_n^{c_n}\rangle^m C_R(I^m) $$
