گوشه وایده ال های پارامتری یک ایده ال تک جمله ای

Question

فرض کنید$R=A[ x_{1},..., x_{d}]$ ،و$a=( x_{1},..., x_{d})R= P_{R} (1)$

1) ثابت کنید$C_{R}( a^{n})= a^{n-1} \backslash a^{n}$ به ازای $n \geq 1$

2)برای هر تک جمله ای $f \in [[R]]$ ، $C_{R}( P_{R}(f)^{n})$ رابه دست اورید

Answer 1

قرار دهید

$$I=\langle x_1,\cdots,x_n\rangle$$ در اینصورت می‌توانید برای هر $m$ نشان دهید که توان m اُم این ایده‌آل برابر است با؛ $$I=\langle x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}|a_1+\cdots+a_n=m\rangle$$ گوشه‌های این ایده‌آل‌ها که توان‌های I هستند را برای حالت دو متغیره در شکل زیر می‌بینید.

ادعا می‌کنیم که

$$C_R(I^m)=\{x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}|a_1+\cdots+a_n=m-1\}$$ که در واقع تک‌جمله‌ای‌هایی هستند که در $I^{m-1}$ قرار می‌گیرند (چون بوسیلهٔ مولدهای آن تولید می‌شود، در واقع خود مجموعهٔ مولدی از آن که معرفی کرده‌ایم است) اما در $I^m$ قرار نمی‌گیرند چون بوسیلهٔ مولدی که برای آن ارائه دادیم تولید نمی‌شوند.

توجه داشته باشید که توان‌های یک ایده‌آل به گونهٔ کاهشی زیرمجموعهٔ یکدیگرند یعنی

$$R=I^0\supseteq I\supseteq I^2\supseteq I^3\supseteq\cdots$$

اکنون اثبات ادعایمان

$$\begin{array}{lcl}x_1^{b_1}\cdots x_n^{b_n}\in C_R(I^m) & \Longleftrightarrow & \forall 1\leq i\leq n\;|\;x_1^{b_1}\cdots x_{i-1}^{b_{i-1}}x_i^{b_i+1}x_{i+1}^{b_{i+1}}\cdots x_n^{b_n}\in I^m\\ & \Longleftrightarrow & b_1+\cdots+(b_i+1)+b_{i+1}+\cdots+b_n=m\\ & \Longleftrightarrow & (\sum_{i=1}^nb_i)+1=m\\ & \Longleftrightarrow & \sum_{i=1}^nb_i=m-1\end{array}$$

اکنون ۶.۱.۱ را به یاد آورید که برای یک تک‌جمله‌ای $f=x_1^{c_1}\cdots x_n^{c_n}$ نماد $P_R(f)$ که کتاب مد نظر شما آن را ایده‌آل پارامتری متناظر به تک‌جمله‌ای $f$ می‌نامد را به شکل زیر تعریف می‌کنیم؛

$$P_R(f)=\langle x_1^{c_1+1},\cdots,x_n^{c_n+1}\rangle$$ اکنون توان‌های این ایده‌آل به شکل زیر هستند $$P_R(f)=\langle (x_1^{c_1+1})^{a_1}\cdots(x_n^{c_n+1})^{a_n}|a_1+\cdots+a_n=m\rangle$$ همانند بالا یک تک‌جمله‌ایِ $$x_1^{b_1}\cdots x_n^{b_n}\in C_R((P_R(f))^m)$$ اگر و تنها اگر بتوان توان‌هایش را به شکل مناسب درآورد $$x_1^{b_1}\cdots x_{i-1}^{b_{i-1}}x_i^{b_i+1}x_{i+1}^{b_{i+1}}\cdots x_n^{b_n}=(x_1^{c_1+1})^{a_1}\cdots(x_n^{c_n+1})^{a_n}$$ که جمع $a_i$ ها M شود. اما در آنصورت $$x_1^{b_1}\cdots x_{i-1}^{b_{i-1}}x_i^{b_i}x_{i+1}^{b_{i+1}}\cdots x_n^{b_n}= (x_1^{c_1})^{a_1}\cdots(x_i^{c_i})^{a_i}\cdots(x_n^{c_n})^{a_n}.x_1^{a_1}\cdots x_i^{a_i-1}\cdots x_n^{c_n}$$ یعنی تک‌جمله‌ای‌مان ضربی از تک‌جمله‌ای از $\langle x_1^{c_1},\cdots,x_n^{c_n}\rangle^m$ و تک‌جمله‌ای از $C_R(I^m)$ است و چون تک‌جمله‌ای‌های عضو حاصلضرب دو ایده‌آل تک‌جمله‌ای برابر با حاصلضرب تک‌جمله‌ای‌های آن دو تک‌جمله‌ای است، ثابت کرده‌ایم که گوشهٔ مورد نظر ما مجموعه مولد ایده‌آل تک‌جمله‌ای حاصلضربی زیر است $$\langle x_1^{c_1},\cdots,x_n^{c_n}\rangle^m C_R(I^m)$$