مثالی از دنباله توابع پیوسته $f_n$ که $\int |f-f_n|^p\to 0$ ولی $f$ پیوسته نباشد

Question

مثالی از توابع مانند $ f_1, f_2 ,.. $ که از $ \mathbb{R} $ به $ [a,b] $ هستند ارائه کنید که:

الف) هر $ f_n $روی $\mathbb{R} $ پیوسته باشد.

ب)$ f_n (x) $ به ازای هر $ x $ به $ f $ همگرا باشد. و برای هر $p \in(0, \infty )$ داریم $ \int_{- \infty }^ \infty \mid f_n(x)-f(x) \mid ^pdx \mapsto 0 $

ج) نقطه ای موجود باشد که$ f$ در آن ناپیوسته باشد.

Answer 1

فرض کنید $$f_n(x)=\begin{cases}1&x\leq 0\\ 1-nx&0\leq x\leq \frac 1n\\ 0&x\geq \frac 1n\end{cases}$$

و $$f(x)=\begin{cases}1&x\leq 1\\ 0&x>0\end{cases}$$

در اینصورت $f_n\overset{p} \to f$ و به ازای هر $p>0$ داریم: $$\int_{-\infty}^\infty |f(x)-f_n(x)|^p\leq (\frac 1n)^p\to 0$$