مثالی از تابع پیوسته که اندازه پذیر نباشد

Question

تابعی مثال بزنید که پیوسته باشد ولی اندازه پذیر نباشد!

Answer 1

این سوال مجموعه ای لبگ اندازه پذیر که بورل اندازه پذیر نباشد رو ببینید. در آنحا نشان داده شده که اگر $f_1$ تابع کانتور $f:[0,1]\to [0,2]$ را به صورت $f(x)=f_1(x)+x$ تعریف کنیم در اینصورت تابعی دوسویی و پیوسته است. و نشان داده شده که وارون این تابع که با $g$ نمایش داده ایم پیوسته است(چون وارون یک تابع پیوسته است) ولی اندازه پذیر نیست.