مثالی بیاورید که قدرمطلق fاندازه پذیر ولیf اندازه پذیر نباشد

Question

مثالی بیاورید که | f | اندازه پذیر ولی f اندازه پذیر نباشد

Answer 1

فرض کنید $A$ مجموعه ای اندازه ناپذیر باشد در اینصورت تابع $$f=\chi_A(x)= \begin{cases}1 & x \in A\\ -1 & x \notin A\end{cases} $$ اندازه ناپذیر است(چرا؟) ولی $|f|=1$ اندازه پذیر است.