ابتدا ویژگی تابع لمبرت رو یادآوری میکنیم :
$$y=ze^z \Rightarrow z=W(y)$$
حال سعی میکنیم تابع را به صورت تابع لمبرت در بیاوریم :
$$y=3x+4\ln(x+1)$$
$$\ln(x+1)=\dfrac{y-3x}{4}$$
$$x+1=e^{(\dfrac{y-3x}{4})}$$
$$x+1=\dfrac{e^{(\dfrac{y}{4})}}{e^{\dfrac{3x}{4}}}$$
$$e^{\dfrac{3x}{4}}(1+x)=e^{(\dfrac{y}{4})}$$
حال دو طرف تساوی را ضرب در : $ \dfrac{4}{3} e^{ \frac{3}{4} }$
در نتیجه حاصل میشود :
$$\dfrac{3}{4}e^{(\dfrac{y+3}{4})}=\dfrac{3}{4}(1+x)e^{\dfrac{3}{4}(1+x)}$$
حال متغییر رو تغییر میدهیم :
$$Y=\dfrac{3}{4}e^{(\dfrac{y+3}{4})} \ \ , \ \ Z=\dfrac{3}{4}(1+x)$$
در نتیجه خواهیم داشت :
$$Y=Ze^Z \Rightarrow Z=W(Y)$$
$$x=-1+\dfrac{4}{3}W(\frac{3}{4}e^{\dfrac{y+3}{4}})$$
