در این سوال $f(x)= \frac{1}{x+a} $ و $n=2 $ پس :
$\int_0^ \infty e^{-x} f(x)dx= w_{1}f( x_{1} )+w_{2}f( x_{2} ) $
که در آن $ x_{i} $ ریشه های چند جمله ای لاگر یعنی $ \frac{1}{2} ( x^{2} -4x +2) $ هستند که برابر است با $ 2+ \sqrt{2} $و $2- \sqrt{2} $
همچنین: $ w_{1} = \frac{2- \sqrt{2}}{4(3-2 \sqrt{2}) }= \frac{2+ \sqrt{2}}{4} $ و $ w_{2} = \frac{2+ \sqrt{2}}{4(3+2 \sqrt{2}) } =\frac{2- \sqrt{2}}{4}$ حال با جایگذاری داریم:
$$ w_{1}f( x_{1} )= \frac{2+ \sqrt{2}}{4} \times \frac{1}{2+a- \sqrt{2} }= \frac{(2+\sqrt{2})(2+ \sqrt{2}+a)}{4( a^2+4a+2) } $$
$$=\frac{6+2 \sqrt{2}+2a+a \sqrt{2}}{4( a^2+4a+2) } $$
$$ w_{2}f( x_{2} )= \frac{2- \sqrt{2}}{4} \times \frac{1}{2+a+ \sqrt{2} }= \frac{(2-\sqrt{2})(2- \sqrt{2}+a)}{ 4(a^2+4a+2) } $$
$$=\frac{6-2 \sqrt{2}+2a-a \sqrt{2}}{4( a^2+4a+2) } $$
پس در کل داریم:
$$\int_0^ \infty e^{-x} f(x)dx= w_{1}f( x_{1} )+w_{2}f( x_{2} ) = \frac{12+4a}{4( a^2+4a+2) } = \frac{3+a}{a^2+4a+2} $$
$E$ از رابطه ی $ \frac{ f^{iv}( \theta ) }{6} $ بدست می آید پس داریم:
$$ f' = \frac{-1}{ (x+a)^{2} } $$
$$ \vdots $$
$$f^{iv}= \frac{24}{(x+a)^{5} } $$
