در روش گاوس چیبیشف وزن ها با هم برابرند

Question

نشان دهید در روش گاوس چیبیشف وزن ها با هم برابرند یعنی:

$$w_1=w_2=...=w_n=\frac{\pi}{n}$$

Answer 1

با توجه به اینکه $T_{n} =cos(n \theta )$ و اینکه $cos( \theta )=x$ داریم: $T'_{n} (x)=-n sin(n \theta) \frac{d \theta }{dx}=n \frac{sin(n \theta) }{sin( \theta )}$

وزنها از فرمول زیر بدست می آیند:

$$w_{i}= \frac{ a_{n} }{ a_{n-1} } \frac{ \int_a^b w(x) (T_{i-1}(x))^{2}dx }{T_{n-1}( x_{i} ) \times T'_{n} (x_{i}) }$$

که در آن $a_{n}$ ضریب $x^{n}$ در $T_{n}(x)$ است. طبق پاسخ سوال انتگرال گیری به روش گاوس چبیشف حاصل انتگرال برابر $\frac{\pi}{2}$ و ضریب $x^{n}$ در $T_{n}(x)$ برابر $\frac{1}{ 2^{n-1} }$ و لذا نسبت ضرایب برابر $2$ است و با جایگذاری خواهیم داشت:

$$w_{i}= \frac{ \pi }{T_{n-1}( x_{i} ) \times T'_{n} (x_{i}) } \label{1} \tag{1}$$ برای هر $i$ دلخواه $x_{i}$ ها ریشه های $T_{n}(x)$ هستند یعنی برابر $cos( \frac{(2i-1)\pi}{2n} )$ هستند.

$$T_{n-1} ( x_{i} )=cos[(n-1) \frac{(2i-1)\pi}{2n} ] =cos[ \frac{(2i-1)\pi}{2} -\frac{(2i-1)\pi}{2n} ]= (-1)^{i+1} sin(\frac{(2i-1)\pi}{2n} )$$

و همچنین:

$$T'_{n} (x_{i}) =n \frac{sin(n \frac{(2i-1)\pi}{2n}) }{sin( \frac{(2i-1)\pi}{2n} )} = n\frac{(-1)^{i+1}}{sin(\frac{(2i-1)\pi}{2n} )}$$

یعنی

$$T_{n-1}( x_{i} ) \times T'_{n} (x_{i})=n$$

پس مخرج رابطه ی $\eqref{1}$ برابر $n$ و مقدار وزن برابر $\frac{\pi}{n}$ است و چون برای هر $i$ بود( $i$ را دلخواه گرفتیم ) پس حکم ثابت شد.