در روش بدست آوردن چندجمله ای های متعامد اگر از وزن $ w(x)= \frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } } $ استفاده کنیم چند جمله ای چبیشف بدست می آید
فرمولهای این بخش:
$$ P_0(x)=1 , \ P_1(x)=x- B_{1} \ ,..., \ P_i(x)=(x- B_{k} )P_{i-1}(x)- C_{k} P_{i-2}(x) $$
که در آن داریم:
$$B_{k}= \frac{ \int_a^b x w(x) (P_{i-1}(x))^{2}dx }{ \int_a^b w(x) (P_{i-1}(x))^{2}dx } \\ C_{k}= \frac{ \int_a^b x w(x) P_{i-1}(x)P_{i-2}(x)dx }{ \int_a^b w(x) (P_{i-2}(x))^{2}dx } $$
از طرفی داریم که $T_i(x)=cos(i \times arc \ cos(x)) $ و با گرفتن $ \theta = arc \ cos(x) $ بدست می آید که $ T_i(x)=cos(i \theta )$ و همچنین به کمک فرمول کسینوس مجموع زوایا داریم:
$$T_n(x) =2xT_{n-1}(x) -T_{n-1}(x)\tag{1} \label{1}$$
حال با استقرا حکم خواسته شده را ثابت می کنیم.
$$i=1 \Rightarrow T_1(x)=cos(1 \theta ) =x $$
و
$$B_{1}= \frac{ \int_{-1}^1 x (\frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } }) (1)^{2}dx }{ \int_{-1}^1 (\frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } }) (1)^{2} } =0 $$
چون تابع تحت انتگرال در صورت تابعی فرد است و بازه ی انتگرالگیری متقارن است. لذا طبق تعریف $P_1(x) $ داریم:
$$P_1(x)=x- B_{1}=x= \frac{1}{ 2^{1-1} } x= \frac{1}{ 2^{1}-1 } T_1(x) $$
حال فرض حکم برای تمام مقادیر کمتر از $ n $ درست باشد نشان می دهیم حکم برای $n $ نیز درست است.
طبق فرض استقرا داریم:
$$P_{n-1}(x)=\frac{1}{2^{n-2}}T_{n-1}(x) $$
و
$$P_{n-2}(x)=\frac{1}{2^{n-3}}T_{n-2}(x) $$
$$\begin{align} B_{n}&= \frac{ \int_{-1}^1 x (\frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } }) (P_{n-1}(x))^{2}dx }{ \int_{-1}^1 (\frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } }) (P_{n-1}(x))^{2}dx } \\
&=\frac{ \int_{-1}^1 x (\frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } }) (\frac{1}{2^{n-2}}T_{n-1}(x))^{2}dx }{ \int_{-1}^1 (\frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } }) (\frac{1}{2^{n-2}}T_{n-1}(x))^{2}dx }\\
&=\frac{ \int_{-1}^1 x (\frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } }) (cos((n-1) \theta ))^{2}dx }{ \int_{-1}^1 (\frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } })(cos((n-1) \theta ))^{2}dx } \end{align}$$
حال با تغیر متغییر $x=cos( \theta ) $ به انتگرال زیر میرسیم:
$$\begin{align}B_{n}&= \frac{ \int_{0}^{\pi} cos(\theta)(cos((n-1) \theta) )^{2} }{ \int_{0}^{\pi} (cos((n-1) \theta) )^{2}} \\
&=\frac{ \int_{0}^{\pi} cos(\theta)( \frac{1}{2} [cos(2(n-1) \theta) )+1] )}{ \frac{\pi}{2} }\\
&= \frac{ \int_{0}^{\pi} cos(\theta)( cos(2(n-1) \theta) )}{ \pi }\\
&=\frac{ \int_{0}^{\pi} ( \frac{1}{2} [cos((2n-1) \theta)+cos((2n-1) \theta) ] }{ \pi } \\
&=0\end{align}$$
برای محاسبه ی انتگرال چندین بار از فرمول $cos(n \theta) cos(m \theta) =\frac{1}{2} [cos((m+n) \theta)+cos((n-m) \theta) ] $ استفاده شد.
$$\begin{align}C_{n}&= \frac{ \int_{-1}^1 x (\frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } }) (P_{n-2}(x))(P_{n-1}(x))dx }{ \int_{-1}^1 (\frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } })(P_{n-2}(x))^{2}dx } \\
&= \frac{1}{2}\frac{ \int_{-1}^1 x (\frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } }) (cos((n-2) \theta))(cos((n-1) \theta))dx }{ \int_{-1}^1 (\frac{1}{ \sqrt{1- x^{2} } }) (cos((n-2) \theta))^{2}dx } \end{align}$$
حال با تغیر متغییر $x=cos( \theta ) $ به انتگرال زیر میرسیم:
$$\begin{align}C_{n}&= \frac{1}{2} \frac{ \int_{0}^{\pi} cos(\theta)(cos((n-1) \theta) )(cos((n-2) \theta) ) }{ \int_{0}^{\pi} (cos((n-2) \theta) )^{2}} \\
&=\frac{1}{2} \frac{ \int_{0}^{\pi} cos(\theta)( \frac{1}{2} [cos((2n-3) \theta) )+cos(\theta)] )}{ \frac{\pi}{2} } \\
&=\frac{1}{2} \frac{ \int_{0}^{\pi} cos(\theta)^{2}}{ \pi }\\
&=\frac{1}{4} \end{align}$$
حال با جایگذاری مقادیر بدست آمده برای $ B_{n} $ و $ C_{n} $ در فرمول های اولیه که در ابتدا ذکر شد داریم:
$$\begin{align} P_n(x)&=(x-0 )P_{n-1}(x)- \frac{1}{4} P_{n-2}(x)\\
&=x\frac{1}{2^{n-2}}T_{n-1}(x)- \frac{1}{2^{n-1}}T_{n-2}(x)\\
&=\frac{1}{2^{n-1}}(2xT_{n-1}(x) -T_{n-1}(x))\\
&=\frac{1}{2^{n-1}}T_{n}(x)\end{align}$$
برای قسمت آخر هم با جایگذاری $ 2^{n-1}P_n(x) $ بجای $ T_{n}(x) $ و اینکه $ P_n(x) $ ها چند جمله ای های متعامد هستند نتیجه میشود.
