قضیه1: یک چند ضلعی محیطی است (بر یک دایره محیط می شود یا یک دایره در آن محاط می شود) اگر و تنها اگر نیمساز های داخلی زوایای آن همرس باشند. در این صورت نقطه همرسی، مرکز دایره ی محاطی است.
اثبات: فرض می کنیم یک چند ضلعی محیطی است پس مرکز دایره ای که در آن محاط شده است فاصله های یکسانی از اضلاع چند ضلعی دارد (چرا؟) پس خط گذرا از مرکز دایره و هر رأس چند ضلعی، نیمساز داخلی زاویه متناظر با آن رأس است (به این برهان که نیمساز یک زاویه، مکان هندسی نقاطی از صفحه است که فاصله های یکسانی از اضلاع متناظر با آن زاویه دارند) بنابراین نیمساز های داخلی زوایای چند ضلعی در مرکز دایره همرسند.
فرض می کنیم نیمسازهای زوایای یک چند ضلعی در نقطه ی $o$ همرسند. در این صورت نقطه ی $o$ فاصله های یکسانی مثل $d$ از اضلاع چندضلعی دارد. پس دایره $C(o,d)$ در چند ضلعی محاط است و قضیه اثبات می شود.
قضیه2: یک چند ضلعی محاطی است (یک دایره بر آن محیط می شود یا در یک دایره محاط می شود) اگر و تنها اگر عمود منصف های اضلاع آن همرس باشند. در این صورت نقطه همرسی، مرکز دایره ی محیطی است.
درستی قضیه فوق مشابه قضیه1 اثبات می شود.
