فرض کنیم اینگونه نباشد.پس باید برای هر $x,y,z$ در دامنه که
$x < y< z$ داشته باشیم
$f(x)< f(y),f(y)>f(z)$ یا $ f(x)>f(y),f(y)< f(z) $.نشان می دهیم هر دو حالت به
تناقض منجر می شود.فرض کنیم اولین حالت برقرار باشد دو حالت وجود دارد یا $f(x)>f(z)$ یا
$f(x)< f(z)$.فرض کنیم $f(x)>f(z)$.پس
$f(y)< f(x)< f(z)$
و بنا به خاصیت مقدار میانی وجود دارد $t \in [y,z]$ به طوری که
$f(t)=f(x)$.حال چون تابع یک به یک است پس $t=x$ اما
$x< y,t>y$ و این تناقض است.
از طرفی به دلیل یک به یک بودن
$f(x) \neq f(z)$ پس باید $f(z)>f(x)$ باشد.پس داریم
$f(x)< f(z)< f(y)$ و بنا به خاصیت مقدار میانی وجود دارد
$s \in [x,y]$ به
طوری که $f(s)=f(z)$ و به دلیل یک به یک بودن $s=z$ ولی
$z>y$
و $s< y$ و این تناقض است.پس حالت اول رخ نمی دهد.حالت دوم به طور مشابه به تناقض منجر
می شود.این جمیع تناقضات نشان می دهد که تابع اکیدا یکنواست
