اگر $ x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}=xyz(x+y+z)$ ثابت کنید$x=y=z$

Question

اعداد مخالف صفر x,y,z در عبارت زیر صذق می کنند: $$ x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}=xyz(x+y+z)$$ ثابت کنید$x=y=z$

Answer 1

از این عبارت نتیجه میشود :

$x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2-x^2yz-xy^2z-xyz^2=0 $

2 طرف تساوی را در 2 ضرب میکنیم :

$2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2-2x^2yz-2xy^2z-2xyz^2=0$

عبارت بالا را به صورت زیر مینویسیم و با اتحاد مربع اختلاف 2 جمله ساده میکنیم :

$x^2y^2-2x^2yz+x^2z^2+x^2y^2-2xy^2z+y^2z^2+y^2z^2-2xyz^2+x^2z^2=0$

$(xy-xz)^2+(xy-yz)^2+(yz-xz)^2=0$

چون عبارت بالا برابر 0 است پس هریک از جملات برابر 0 هستند . حال برای جمله اول داریم :

$xy-xz=x(y-z)=0$

از آنجا که $x$ برابر 0 نیست پس عبارت $y-z$ برابر 0 است پس $y$ و $z$ برابرند به همین صورت میتوان برابری $x$ با این 2 را ثابت کرد .