جمع مستقیم مدول‌های مدرج

Question

چرا مجموع مستقیم مدول‌های مدرج، مدولی مدرج است؟

Answer 1

من برای جمع مستقیم دو مدول مدرج اثبات می‌کنم برای جمع مستقیم خانوادهٔ دلخواهی از مدول‌های مدرج همین اثبات دقیقا پیاده می‌شود. فرض کنسد $M$ و $N$ دو مدول مدرج‌تان با درجه‌بندی‌های ${M_i}_{i\in I}$ و ${N_j}_{j\in J}$ باشند. اینکه $M\oplus N$ جمع مستقیم $\oplus_{(i,j)\in I\times J}(M_i\oplus N_j)$ است روشن است. می‌رویم سراغ شرط دوم. برای هر $(i_1,j_1)$ و $(i_2,j_2)$ در $I\times J$ داریم:

$$(M_{i_1}\oplus N_{j_1})(M_{i_2}\oplus N_{j_2})=M_{i_1}M_{i_2}\oplus N_{j_1}N_{j_2}\subseteq M_{i_1+i_2}\oplus N_{j_1+j_2}$$ در واقع رایج است بگویند چندمدرج multigraded تا اینکه بگویند مدرج چون با (خود یا زیرمجوعه‌ای از) $\mathbb{Z}^2$ درجه‌ها را اختصاص داده‌اید.