مثال از حلقه های $\mathbb{Z}^{n}$-مدرج بیاورید.

Question

برای تعریف زیر مثال بیاورید.

حلقه‌ٔ ‎$R$ را ‎$\mathbb{Z}^{n}$ مدرج گوییم هرگاه داشته باشیم:

$$R=\bigoplus_{\mathfrak{a}\in \mathbb{Z}^{n}}R_{\mathfrak{a}}$$ ‎

که در آن برای هر ‎$\mathfrak{a}\in \mathbb{Z}^{n}_{+}$ داریم $R_{\mathfrak{a}}=Kx^{\mathfrak{a}}$ و برای هر ‎$\mathfrak{a} \notin \mathbb{Z}^{n}_{+}$ داریم ‎‎$R_{\mathfrak{a}}=0$‎.

Answer 1

تعریفی که نوشتید برای حلقه ی $S=K[X]$ است و تعریف آخری که نوشتید تعریف مثبت مدرج بودن است.

بعضی حلقه ها مثل همین $S=K[X]$ مثبت مدرج (در واقع نامنفی مدرج) هستند چون توان منفی نداریم و درجه را مجموع توانهای متغییر ها میگیریم.

مثلا اگر $S=K[ x,y,z ]$ آنگاه

$$S=K \bigoplus (K x \bigoplus K y \bigoplus K z) \bigoplus (K x^{2} \bigoplus K xy \bigoplus ... \bigoplus K z^{2}) \bigoplus ...$$ و اگر $w= x^{ \alpha _{1} } y^{\alpha _{2} } z^{\alpha _{3} }$ یک عضو همگن دلخواه باشد آن را متناظر $( \alpha _{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3})$ در $\mathbb{Z}^{3}$ میگیریم.

مثلا هر عنصر در $K x^{2}$ متناظر$(2,0,0)$ است.

Comments

یعنی حلقه ‌ی چند جمله ‌ای ها مدرج است؟

---

مثالی از مدول مدرج رو بیانمی کنین

---

بله با در نظر گرفتن درجه ی 1 برای هر متغییر مدرج استاندارد خواهد بود.

---

میتونید $S$ را به عنوان $S$  مدول نگاه کنید.

Answer 2

حلقه $R[x]$ یک حلقه $Z$مدرج است زیرا قرار دهید $S_i=R x^i$ در این صورت$R[x]$ را می توان به صورت زیر نوشت :

$R[x] = \bigoplus S_i$

ضمن اینکه واضح است که $Rx^ {i+j}$ $R x^i R x^j \subseteq$