مثال از حلقه های $ \mathbb{Z}^{n} $-مدرج بیاورید.

Question

برای تعریف زیر مثال بیاورید.

حلقه‌ٔ ‎$ R $ را ‎$ \mathbb{Z}^{n} $ مدرج گوییم هرگاه داشته باشیم:

$$ R=\bigoplus_{\mathfrak{a}\in \mathbb{Z}^{n}}R_{\mathfrak{a}} $$‎

که در آن برای هر ‎$\mathfrak{a}\in \mathbb{Z}^{n}_{+} $ داریم $ R_{\mathfrak{a}}=Kx^{\mathfrak{a}} $ و برای هر ‎$\mathfrak{a} \notin \mathbb{Z}^{n}_{+} $ داریم ‎‎$ R_{\mathfrak{a}}=0 $‎.

Answer 1

تعریفی که نوشتید برای حلقه ی $S=K[X]$ است و تعریف آخری که نوشتید تعریف مثبت مدرج بودن است.

بعضی حلقه ها مثل همین $S=K[X]$ مثبت مدرج (در واقع نامنفی مدرج) هستند چون توان منفی نداریم و درجه را مجموع توانهای متغییر ها میگیریم.

مثلا اگر $S=K[ x,y,z ] $ آنگاه $$S=K \bigoplus (K x \bigoplus K y \bigoplus K z) \bigoplus (K x^{2} \bigoplus K xy \bigoplus ... \bigoplus K z^{2}) \bigoplus ... $$ و اگر $w= x^{ \alpha _{1} } y^{\alpha _{2} } z^{\alpha _{3} } $ یک عضو همگن دلخواه باشد آن را متناظر $( \alpha _{1}, \alpha _{2}, \alpha _{3}) $ در $ \mathbb{Z}^{3} $ میگیریم.

مثلا هر عنصر در $ K x^{2} $ متناظر$(2,0,0)$ است.

Comments

یعنی حلقه ‌ی چند جمله ‌ای ها مدرج است؟

---

مثالی از مدول مدرج رو بیانمی کنین

---

بله با در نظر گرفتن درجه ی 1 برای هر متغییر مدرج استاندارد خواهد بود.

---

میتونید $S$ را به عنوان $S$  مدول نگاه کنید.

Answer 2

حلقه $R[x]$ یک حلقه $Z$مدرج است زیرا قرار دهید $ S_i=R x^i$ در این صورت$R[x]$ را می توان به صورت زیر نوشت :

$R[x] = \bigoplus S_i$

ضمن اینکه واضح است که $Rx^ {i+j}$ $ R x^i R x^j \subseteq $