Question

ثابت کنید $\mathbb{Z}[x]$ یک دامنهٔ ایده‌آل اصلی نیست.

حلقهٔ $R$ را دامنهٔ ایده‌آل اصلی (PID) گوییم اگر $R$ یک دامنهٔ صحیح و هر ایده‌آلِ آن یک ایده‌آلِ اصلی باشد.

Comments

@nafas66 به نظرتان عنوان پرسش‌تان مناسب است؟
https://math.irancircle.com/11973

---

سلام
صورت سوال ایراد دارد ، به دامنه(حوزه) ایده آل اصلی به اختصار ، PID می‌گویند.

Answer 1

ابتدا لازم است قضیه مقابل ذکر شود: اگر $R[x]$ یک حوزه ایده آل اصلی(PID) باشد، آنگاه $R$ یک میدان است. می توان استنباط کرد که اگر $R$ میدان نباشد آنگاه $R[x]$ حوزه ایده‌ آل اصلی نیست. با توجه به اینکه $Z$ میدان نیست، پس $Z[x]$ حوزه ایده‌ آل اصلی نیست.

Answer 2

ایده‌آلِ $\langle p,x\rangle$ که $p$ یک عدد اول دلخواه باشد را در نظر بگیرید، برای نمونه $p=2$. اگر قرار باشد این ایده‌آل، ایده‌آلی اول باشد پس باید عضوی از حلقه یافت شود که هر عضوی از این ایده‌آل را به شکل ضریبی از خودش ایجاد کند و خودش هم عضو این ایده‌آل باشد. عضوی که دنبالش هستیم را $a$ بنامید. دو عضو از این ایده‌آل $x$ و ۲ هستند، اینکه آن $a$ آنها را به شکل ضریبی از خودش ایجاد کند یعنی اینکه آن دو را بشمارد، پس باید یک شمارندهٔ مشترک آن دو باشد، می‌دانیم که هر شمارندهٔ مشترکی، بزرگترین شمارندهٔ مشترک (ب.م.م) را می‌شمارد. اما ب.م.مِ $x$ و ۲ برابر با ۱ است. و تنها شمارنده‌های ۱ برابر با ۱ و منفی یک هستند. پس اینها تنها نامزدهای ممکن برای $a$ هستند. اما هیچ یک از این دو به شکلِ ترکیبِ خطی‌ای از ۲ و $x$ نوشته نمی‌شوند و در نتیجه عضو ایده‌آلمان نیستند. پس ایده‌آلی که نام بردیم یک ایده‌آل اول نیست.

در حلقهٔ $\mathbb{R}[x]$ یا $\mathbb{Q}[x]$ این مشکل را نداشتیم چون $\frac{1}{p}$ عضو حلقه بود و می‌توانستیم بنویسیم

$$1=\frac{1}{p}(p)+0(x)$$