در یک حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها برای هر ایده‌آل یک ایده‌آل به نام ایده‌آل پیشروی آن می‌توان تعریف کرد به این شکل که جملهٔ پیشروی تمامی چندجمله‌ای‌های داخل ایده‌آل یکممان را درون یک مجموعه قرار می‌دهیم و سپس ایده‌آل تولید شده بوسیلهٔ این مجموعه را ایده‌آل پیشروی آن ایده‌آل یکممان می‌نامیم. ممکن است فکر کنید که اگر ایده‌آل I بوسیله چند چندجمله‌ای تولید شود آنگاه ایده‌آل پیشروی آن بوسیلهٔ مله‌های پیشروی آن چندجمله‌ای‌ها تولید شود. این حدس نادرست است هر چند که ایدهٔ بدی نیست و در واقع پایهٔ گروبنر از همین‌جا سرچشمه می‌گیرد. یک مولد برای ایده‌آل I را یک پایهٔ گروبنر برای آن می‌نامیم هر گاه علاوه بر اینکه خود ایده‌آل I را تولید می‌کند، جمله‌های پیشرویش نیز مولدی برای ایده‌آل پیشروی I شود.
پیش از ادامه باید توجه کنید که جملهٔ پیشروی یک چندجمله‌ای چندمتغیره متناسب به ترتیب‌های تک‌جمله‌ای گوناگون می‌تواند متفاوت شود پس ایده‌آل پیشرو و پایهٔ گروبنر هر دو مفهوم‌هایی وابسته به ترتیب انتخابی‌مان هستند و زمانی‌که حرف از این مفهوم‌ها می‌آوریم باید یک ترتیب تک‌جمله‌ای پیش از آن ثابت گرفته باشیم یا اینکه آنها را اشاره کنیم. ایده‌آل پیشروی I را با $in(I)$ نمایش می‌دهیم که in ابتدای واژهٔ initial به معنای آغاز و یا شروع چیزی است، برخی به جای ترجمهٔ چشم‌بستهٔ initial ideal که ایده‌آل آغازین یا ایده‌آل شروع گفته شده‌است از «ایده‌آل پیشرو» استفاده می‌کنند که تفاوت زیادی ندارد و شروع و آغاز در اصطلاح انگلیسی به همان تولید شدن بوسیلهٔ جملات پیشرو که گاهی جملات شروع نیز گفته می‌شوند دارد (leading monomial و initial monomial). اگر ترتیب تک‌جمله‌ای در بحثتان ثابت نیست (ممکن است با چند ترتیب کار می‌کنید) یا می‌خواهید تأکید کنید از آوردن ترتیبتان به شکل زیروند استفاده کنید، برای نمونه فرض کنید ترتیب واژه‌نامه‌ای با ارزشگذاری خاصی را با > و ترتیب واژه‌نامه‌ای مدرج با ارزشگذاری خاصی را با $ \prec $ نمایش داده‌اید آنگاه ایده‌آل پیشروی I نسبت به هر یک از این دو ترتیب را به ترتیب می‌توانید به شکل $in_{< }(I)$ و $in_{\prec}(I)$ نمایش دهید.
اینک به سراغ پرسش شما می‌رویم. با توجه به تعریف پایهٔ گروبنر، تنها کاری که نیاز دارید این است که پایهٔ گروبنری برای $I=\langle x_1x_3-x_2^2,x_2x_3-x_1x_4,x_3^2-x_2x_4\rangle$ نسبت به ترتیب تک‌جمله‌ای واژه‌نامه‌ای با ارزشگذاری $x_1>x_2>x_3>x_4$ پیدا کنید و سپس جمله‌های پیشروی آنها را با این ترتیب مشخص کرده و در یک مجموعه قرار دهید، مجموعهٔ حاصل مولد ایده‌آل پیشروی I با ترتیب خواسته‌شده‌تان است.
برای محاسبهٔ پایهٔ گروبنر از محک $S$-چندجمله‌ای‌ها و الگوریتم بوخ‌برگر می‌توانید استفاده کنید. در ضمن نکته‌های اشاره شده در پاسخ این پیوند می‌تواند کمکتان کند که محاسبات کمتری انجام دهید.
سه چندجمله‌ای‌تان را به ترتیب از چپ به راست f و g و h بنامید. $S(f,g)=x_4f+x_3g=x_2h$ پس باقیماندهٔ تقسیمش بر این سه چندجمله‌ای صفر است. چون جملهٔ پیشروی f و h نسبت به هم اول هستند از نکته آمده‌شده در پیوند اشاره شده می‌دانیم که نیازی به محاسبهٔ این گام نداریم. $S(g,h)=x_2g-x_1h=-x_3f$. پس این سه چندجمله‌ای خود یک پایهٔ گروبنر برای ایده‌آلشان هستند. در پایان سه تک‌جمله‌ای که در پرسش آورده‌اید، چیزی نیستند جزء جمله‌های پیشروی این سه چندجمله‌ای با ترتیب تعیین شده.
