به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
–1 امتیاز
65 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط af
ویرایش شده توسط AmirHosein

$S=K[x_1,\cdots,x_6]$ را حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها روی یک میدان و با شش متغیر در نظر بردارید. قرار دهید؛ $$\begin{array}{l} f=x_1x_5-x_2x_4\\ g=x_1x_6-x_3x_4\\ h=x_2x_6-x_3x_5\end{array}$$ الف) یک ترتیب تک‌جمله‌ایِ $<$ بیابید که در این ترتیب ${f,g,h}$ یک پایهٔ گروبنر برای ایده‌آل $I=\langle f,g,h\rangle$ بشود.

ب) یک $K$-پایهٔ فضای برداری برای $\frac{S}{I}$ ارائه کنید.

مرجع: سوال 4 فصل 2 کتاب مونومیال هرزوگ هیبی

2 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
ویرایش شده توسط AmirHosein

این تمرین را با دیدهای گوناگونی می‌توانید پاسخ دهید. به نظر من بنا به ترتیب و همین‌گونه شیوهٔ بیان پرسش هدف استفاده از دست‌آورد ۲.۳.۴ صفحهٔ ۳۶ است که کلی‌تر از شکل بیان‌شده‌اش نیز برقرار است.

نکته: در محاسبهٔ $S$-چندجمله‌ای عناصر داخل مولد برای بررسی محک پایهٔ گروبنر بودن یا انجام الگوریتم بوخ‌برگر اگر جمله‌پیشروی دو عنصر نسبت به هم اول بودند می‌توانیم از محاسبهٔ این گام بپرهیزیم زیرا که باقیماندهٔ $S$-چندجمله‌ای این دو عنصر بر مولد کنونی صفر خواهد شد.

دست‌آورد ۲.۳.۴ صفحهٔ ۳۶ کتاب یادشده در پرسش: اگر $g_1,\cdots,g_d$ چندجمله‌ای‌هایی ناصفر باشند که جمله‌پیشروهای دو به دوی آنها نسبت به هم اول باشند آنگاه این مجموعه یک پایهٔ گروبنر برای ایده‌آل تولیدشده بوسیله‌شان نیز است.

خوب به شکل چندجمله‌ای‌هایی که پرسش گزینش کرده‌است نگاه کنید. ۶ متغیر داریم و از هر یک از این چندجمله‌ای‌ها اگر خوب دقت کنید می‌توان جمله‌ای برداشت که دو متغیر متفاوت از سایرین داشته باشد.

از $f$، $x_1x_5$ بردارید. از $g$، $x_3x_4$ بردارید. از $h$، $x_2x_6$ بردارید. البته به نحوهٔ دیگر نیز می‌توانستید گزینش کنید. اکنون اگر ترتیب تک‌جمله‌ای بتوانید بیابید که در آن داشته باشیم $$x_1x_5>x_3x_4>x_2x_6$$ بنا به دست‌آورد ۲.۳.۴ بخش الف پرسش انجام‌شده‌است. نخستین موردی که سریع به ذهنتان می‌رسد ترتیب واژه‌نامه‌ای با ارزش‌گذاریِ $x_1>x_5>x_3>x_4>x_2>x_6$ است.

بخش ب از کاربردهای رفتارهای سادهٔ تک‌جمله‌ای‌ها است. در واقع اگر حلقهٔ ضرایب حلقهٔ چندجمله‌ای‌هایتان یک میدان باشد آنگاه برای هر ایده‌آل $I$، حلقهٔ خارج‌قسمتی $\frac{R}{I}$ یک فضای برداری روی آن میدان می‌شود که یک پایه برای آن برابر با مجموعهٔ تک‌جمله‌ای‌هایی است که زیر ناحیهٔ نمودار مربوط به ایده‌آل تک‌جمله‌ای پیشروی ایده‌آل‌تان است که در واقع یعنی یک پایهٔ گروبنر برای ایده‌آلتان بیابید، سپس جمله‌های پیشروی آنها را به شکل نقاطی در نمودار مختصاتی‌تان قرار دهید و ناحیه‌ای که با توجه به تعریف ترتیب تک‌جمله‌ای‌هایتان بزرگتر محسوب می‌شود را بسازید. هر نقطهٔ صحیح با درایه‌های نامنفی (صفر و مثبت) در زیر این ناحیه (که برخی ناحیهٔ زیر پلکان می‌نامند) را برداشته و تک‌جمله‌ای‌های متناظرشان تولید و در یک مجموعه قرار دهید، این مجموعه، پایهٔ مطلوب است. در حالتی‌که ضرایب را از میدان نمی‌آورید با مدول‌ها کار می‌کنید و مجموعهٔ یادشده یک مولد است. اگر ترتیب تک‌جمله‌ای‌هایتان را تغییر دهید این مجموعه نیز تغییر می‌کند و در واقع علت آن تغییر در نمایش اعضای فضای برداری‌تان است. در حالتیکه این فضای برداری متناهی بعد باشد تعداد تک‌جمله‌ای‌هایی که با ترتیب‌های گوناگون می‌یابید یکسان خواهد بود که تعابیر خودش را دارد برای نمونه به ایده‌آل‌های متناهی بعد و تعبیر واریته‌ای در هندسهٔ جبری و حل دستگاه‌های چندجمله‌ای می‌توانید رجوع کنید.

اما در این پرسش برای بخش ب؛

با توجه به ترتیبی که در بخش الف برگزیدیم می‌خواهیم همهٔ تک‌جمله‌ای‌هایی که از سه تک‌جمله‌ای ${x_1x_5,x_3x_4,x_2x_6}$ کوچکتر هستند را بیابیم. یک تک‌جمله‌ای در این حلقهٔ شش متغیره به شکل $x_1^{a_1}x_2^{a_2}x_3^{a_3}x_4^{a_4}x_5^{a_5}x_6^{a_6}$ است. اگر توان $x_1$ ناصفر باشد آنگاه از $x_3$ و $x_2$ و در نتیجه از دو تک‌جمله‌ای $x_3x_4,x_2x_6$ بزرگتر خواهد شد پس باید $a_1=0$. به همین‌گونه باید $a_5=0$. $a_3$ و $a_4$ را نیز با همین استدلال ولی تنها با مقایسه با تک‌جمله‌ای پایانی می‌توانی بگویید باید صفر شوند. اگر $a_2$ بزرگتر یا مساوی ۲ باشد آنگاه هنوز از تک‌جمله‌ای پایانی بزرگتر هستیم پس یا می‌تواند یک باشد یا صفر. اگر صفر باشد یعنی تک‌جمله‌ای‌مان توان تنهایی از $x_6$ است که به روشنی از تمامی سه تک‌جمله‌ای کوچک‌تر می‌شود. اگر یک باشد آنگاه توان دیگری که مانده‌است روشن شود توان $x_6$ است. اگر این توان بزرگتر یا مساوی یک باشد آنگاه $x_2x_6^{a_2}\geq x_2x_6$ پس باید صفر شود.

در نتیجه پایهٔ خواسته شده برابر است با؛ $$\{x_2,x_6,x_6^2,\cdots,x_6^n,\cdots\}$$ بعد فضای برداری‌مان نامتناهی است.

همان‌گونه که در شروع پاسخ اشاره کردم می‌توانید از روش دیگری پیش بروید و ترتیب دیگری بگیرید. برای نمونه می‌توانستید ترتیب واژه‌نامه‌ای با ارزش‌گذاری ${x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6}$ را بردارید و با محاسبهٔ $S$-چندجمله‌ای‌ها و محاسبهٔ باقیماندهٔ تقسیمشان بر این سه عنصر ببینید که یک پایهٔ گروبنر در این ترتیب دارید. از دست‌آورد ۲.۳.۴ نمی‌توانستید استفاده کنید ولی از نکته‌ای که اشاره کردیم می‌توانستید استفاده کنید و به جای محاسبهٔ سه $S$-چندجمله‌ای تنها دو مورد محاسبه انجام دهید یعنی تنها $S(f,g)$ و $S(g,h)$ را در نظر بگیرید.

توجه کنید که اگر با این ترتیب جدید پیش می‌رفتید برای بخش ب پایه‌تان مجموعهٔ تک‌جمله‌ای‌هایی می‌شد که $x_1$ و $x_2$ نداشته باشند و سایر توان‌ها دلخواه باشد یا اینکه متغیر تنهای $x_2$ شود. دقیقاً در این نمونه می‌بینید که تغییر ترتیب، پایهٔ فضای برداری خارج‌قسمتی را تغییر داد. اما توجه کنید که عدد اصلی هر دو پایه برابر عدد اصلی مجموعهٔ اعداد طبیعی است و بعد فضا تغییری نکرده است.

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط erfanm

با ترتیب قاموسی S چند جمله ای ها را حساب کنید آنگاه نتیجه می شود که این 3 عضو پایه گروبنر هستند.

برای قسمت بعد از اینکه $ dim_K( \frac{S}{I} ) =dim_K( \frac{S}{in_<(I)} ) $ استفاده کنید. و همچنین اینکه مجموعه تمام مونومیالهایی از $ S $ که در $ in_<(I)$ نیستند یک $ K $ پایه برای $ \frac{S}{in_<(I)} $ هستند.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...