به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–1 امتیاز
408 بازدید
در دانشگاه توسط nafas66 (10 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

ثابت کنید $\mathbb{Z}[x]$ یک دامنهٔ ایده‌آل اصلی نیست.

حلقهٔ $R$ را دامنهٔ ایده‌آل اصلی (PID) گوییم اگر $R$ یک دامنهٔ صحیح و هر ایده‌آلِ آن یک ایده‌آلِ اصلی باشد.

مرجع: کتاب جبر 2 علیرضا نقی پور ، فصل 1 صفحه 32 مسئله ی شماره 4 از تمارین سطح 1
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+3
@nafas66 به نظرتان عنوان پرسش‌تان مناسب است؟
https://math.irancircle.com/11973
توسط Dana_Sotoudeh (2,124 امتیاز)
+4
سلام
صورت سوال ایراد دارد ، به دامنه(حوزه) ایده آل اصلی به اختصار ، PID می‌گویند.

2 پاسخ

+2 امتیاز
توسط Dana_Sotoudeh (2,124 امتیاز)

ابتدا لازم است قضیه مقابل ذکر شود: اگر $R[x]$ یک حوزه ایده آل اصلی(PID) باشد، آنگاه $R$ یک میدان است. می توان استنباط کرد که اگر $R$ میدان نباشد آنگاه $R[x]$ حوزه ایده‌ آل اصلی نیست. با توجه به اینکه $Z$ میدان نیست، پس $Z[x]$ حوزه ایده‌ آل اصلی نیست.

0 امتیاز
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)

ایده‌آلِ $\langle p,x\rangle$ که $p$ یک عدد اول دلخواه باشد را در نظر بگیرید، برای نمونه $p=2$. اگر قرار باشد این ایده‌آل، ایده‌آلی اول باشد پس باید عضوی از حلقه یافت شود که هر عضوی از این ایده‌آل را به شکل ضریبی از خودش ایجاد کند و خودش هم عضو این ایده‌آل باشد. عضوی که دنبالش هستیم را $a$ بنامید. دو عضو از این ایده‌آل $x$ و ۲ هستند، اینکه آن $a$ آنها را به شکل ضریبی از خودش ایجاد کند یعنی اینکه آن دو را بشمارد، پس باید یک شمارندهٔ مشترک آن دو باشد، می‌دانیم که هر شمارندهٔ مشترکی، بزرگترین شمارندهٔ مشترک (ب.م.م) را می‌شمارد. اما ب.م.مِ $x$ و ۲ برابر با ۱ است. و تنها شمارنده‌های ۱ برابر با ۱ و منفی یک هستند. پس اینها تنها نامزدهای ممکن برای $a$ هستند. اما هیچ یک از این دو به شکلِ ترکیبِ خطی‌ای از ۲ و $x$ نوشته نمی‌شوند و در نتیجه عضو ایده‌آلمان نیستند. پس ایده‌آلی که نام بردیم یک ایده‌آل اول نیست.

در حلقهٔ $\mathbb{R}[x]$ یا $\mathbb{Q}[x]$ این مشکل را نداشتیم چون $\frac{1}{p}$ عضو حلقه بود و می‌توانستیم بنویسیم

$$1=\frac{1}{p}(p)+0(x)$$

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...