فرض کنید $(M,d)$ فضای متریک باشد و $x,y\in M$ که $x\neq y$ پس $d(x,y)\neq 0$ چنانچه قرار دهید
$0< r< \frac{d(x,y)}2$ در اینصورت گوی های $U=B(x,r)$ و $V=B(y,r)$ به ترتیب شامل $x$ و $y$ هستند و $U\cap V=\emptyset$ .
چرا $U\cap V=\emptyset$ :
چنانچه $z\in U\cap V$ در اینصورت
$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)< r+r< d(x,y)$ که تناقض است.
