به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
1,201 بازدید
در دانشگاه توسط nazari66 (4 امتیاز)
برچسب گذاری دوباره توسط fardina

چرا اندازه ی هاسدورف روی مجموعه های فشرده ، متریک است؟

توسط fardina (16,008 امتیاز)
خوب میشه وقتی که همچین سوالی میپرسید تعریف ها رو هم بنویسید. و میشه بگید سوال از کدام کتاب هست؟
توسط fardina (16,008 امتیاز)
میشه بگید این سوال از کجا هست؟کدوم کتاب؟

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina (16,008 امتیاز)

اگر $(M,d)$ یک فضای متریک و $X, Y\subset M$ در اینصورت تعریف می کنیم $$d(x,Y)=\inf\{d(x,y):y\in Y\}$$ و $$\tau(X,Y)=\sup\{d(x,Y):x\in X\}$$

به عبارت دیگر: $$\tau(X,Y)=\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}d(x,y)$$ (در بعضی از کتابها به $\tau$ خروج از مرکز گفته می شود.)

واضح است که $\tau$ متر نیست(روی مجموعه ی تمام زیرمجموعه های $M$ ) در واقع:

  • همواره $\tau(X,Y)\geq 0$
  • همواره $\tau(X,X)=0$ اما از $\tau(X,Y)=0$ نمی توان نتیجه گرفته که $X=Y$ (می توانید در اعداد حقیقی مثال بزنید؟)
  • $\tau$ متقارن نیست. یعنی $\tau(X,Y)=\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}d(x,y)\neq \tau(Y,X)=\sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}d(x,y)$
  • همواره نامساوی مثلثی برقرار است.(چرا؟)

حالا کاری کنیم که این خروج از مرکز به متر تبدیل بشه.

فاصله هاسدورف به صورت زیر تعریف میشود:

$$\begin{align}d_H(X, Y)&=\max\{\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}d(x,y), \sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}d(x,y)\}\\ &=\max\{\tau(X,Y),\tau(Y,X)\}\end{align}$$

برای این تعریف داریم:

  • همواره $d_H(X,Y)\geq 0$
  • همواره $d_H(X,X)=0$ اما باز هم از $d_H(X,Y)=0$ نمی توان نتیجه گرفته که $X=Y$
  • خوشبختانه واضحه که متقارن است یعنی $d_H(X,Y)=d_H(Y,X)$
  • در نامساوی مثلثی صدق می کند چون $\tau$ در نامساوی مثلثی صدق می کند.

بنابراین $d_H$ یک شبه متریک است.

در حالت کلی اگر $(X,d)$ یک شبه متریک باشد در اینصورت با تعریف کردن رابطه هم ارزی $x \sim y\iff d(x,y)=0$ می توان نشان داد فضای خارج قسمتی $X^*=\frac{X}{\sim}=\{[x]:x\in X\}$ و قرار دادن $d^*([x],[y])=d(x,y)$ در اینصورت $(X^*, d^*)$ به یک فضای متریک تبدیل خواهد شد.


اما می توان کلاس کوچکتری از مجموعه ها یعنی گردایه ی تمام مجموعه های فشرده را در نظر گرفت و نشان دهیم که $d_H$ یک متر روی آن خواهد بود.

در واقع اگر $X,Y$ دو مجموعه فشرده باشند و $d_H(X,Y)=0$ در اینصورت $\tau(X,Y)=\tau(Y,X)=0$ . اما چون $\tau(X,Y)=\sup\{d(x,Y):x\in X\}$ و تابع $f:X\to \mathbb R$ که $f(x)=d(x,Y)$ پیوسته است و $X$ فشرده پس $f$ ماکزیمم خود را روی $X$ اختیار می کند یعنی $x_0\in X$ موجود است که $\tau(X,Y)=d(x_0, Y)$ و چون $0\leq d(x,Y)\leq d(x_0, Y)=\tau(X,Y)=0$ پس به ازای هر $x\in X$ داریم $d(x, Y)=0$ اما

$$d(x, Y)=0\iff x\in \overline{Y}$$ چرا؟ بنابراین $X\subset \overline{Y}$ و چون $Y$ فشرده است پس $X\subset Y$ و به طور مشابه می توان نشان داد که $Y\subset X$ بنابراین $X=Y$ .

توسط nazari66 (4 امتیاز)
بسیار ممنون
توسط nazari66 (4 امتیاز)
مطلبش اینه که اگر X یک فضای متریک باشد و K(X) را زیر مجموعه های ناتهی و فشرده ی X تعریف کنیم.انگاه فاصله ی هاسدورف روی K(X) متریک است.
توسط fardina (16,008 امتیاز)
@nazari66
خوب من گفتم که چه روی فشرده ها و چه غیر فشرده ها چه خواصی داره. بعد گفتم روی فشرده ها همه خواص متریک رو داره. در کدوم قسمت دچار مشکل هستید؟(فقط نامساوی مثلثی رو ننوشتم که اونم گفتم باید چطوری اثبات کنید با استفاده از اینکه $\tau$ در نامساوی مثلثی صدق می کنه.)

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...