اگر $(M,d)$ یک فضای متریک و $X, Y\subset M$ در اینصورت تعریف می کنیم
$$d(x,Y)=\inf\{d(x,y):y\in Y\}$$
و
$$\tau(X,Y)=\sup\{d(x,Y):x\in X\}$$
به عبارت دیگر:
$$\tau(X,Y)=\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}d(x,y)$$
(در بعضی از کتابها به $\tau$ خروج از مرکز گفته می شود.)
واضح است که $\tau$ متر نیست(روی مجموعه ی تمام زیرمجموعه های $M$ ) در واقع:
- همواره $\tau(X,Y)\geq 0$
- همواره $\tau(X,X)=0$ اما از $\tau(X,Y)=0$ نمی توان نتیجه گرفته که $X=Y$ (می توانید در اعداد حقیقی مثال بزنید؟)
- $\tau$ متقارن نیست. یعنی
$\tau(X,Y)=\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}d(x,y)\neq \tau(Y,X)=\sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}d(x,y)$
- همواره نامساوی مثلثی برقرار است.(چرا؟)
حالا کاری کنیم که این خروج از مرکز به متر تبدیل بشه.
فاصله هاسدورف به صورت زیر تعریف میشود:
$$\begin{align}d_H(X, Y)&=\max\{\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}d(x,y), \sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}d(x,y)\}\\
&=\max\{\tau(X,Y),\tau(Y,X)\}\end{align}$$
برای این تعریف داریم:
- همواره $d_H(X,Y)\geq 0$
- همواره $d_H(X,X)=0$ اما باز هم از $d_H(X,Y)=0$ نمی توان نتیجه گرفته که $X=Y$
- خوشبختانه واضحه که متقارن است یعنی $d_H(X,Y)=d_H(Y,X)$
- در نامساوی مثلثی صدق می کند چون $\tau$ در نامساوی مثلثی صدق می کند.
بنابراین $d_H$ یک شبه متریک است.
در حالت کلی اگر $(X,d)$ یک شبه متریک باشد در اینصورت با تعریف کردن رابطه هم ارزی $x \sim y\iff d(x,y)=0$ می توان نشان داد فضای خارج قسمتی $X^*=\frac{X}{\sim}=\{[x]:x\in X\}$ و قرار دادن $d^*([x],[y])=d(x,y)$ در اینصورت $(X^*, d^*)$ به یک فضای متریک تبدیل خواهد شد.
اما می توان کلاس کوچکتری از مجموعه ها یعنی گردایه ی تمام مجموعه های فشرده را در نظر گرفت و نشان دهیم که $d_H$ یک متر روی آن خواهد بود.
در واقع اگر $X,Y$ دو مجموعه فشرده باشند و $d_H(X,Y)=0$ در اینصورت $\tau(X,Y)=\tau(Y,X)=0$ . اما چون $\tau(X,Y)=\sup\{d(x,Y):x\in X\}$ و تابع $f:X\to \mathbb R$ که $f(x)=d(x,Y)$ پیوسته است و $X$ فشرده پس $f$ ماکزیمم خود را روی $X$ اختیار می کند یعنی $x_0\in X$ موجود است که $\tau(X,Y)=d(x_0, Y)$ و چون $0\leq d(x,Y)\leq d(x_0, Y)=\tau(X,Y)=0$ پس به ازای هر $x\in X$ داریم $d(x, Y)=0$ اما
$$d(x, Y)=0\iff x\in \overline{Y}$$
چرا؟ بنابراین $X\subset \overline{Y}$ و چون $Y$ فشرده است پس $X\subset Y$ و به طور مشابه می توان نشان داد که $Y\subset X$ بنابراین $X=Y$ .
