معادله 3 مجهولی

Question

جواب معادله زیر

$$b=\frac{2a^2}{1+a^2}$$

$$c=\frac{2b^2}{1+b^2} $$

$$a=\frac{2c^2}{1+c^2} $$

Comments

عبارت مربوط به a را در عبارت مربوط به b و سپس حاصل را در عبارت مربوط به c جایگذاری کنید، در این صورت یک معادلهٔ یک مجهوله دارید بر حسب c ساده‌سازی کنید تا یک چندجمله‌ای یک متغیره شود، ریشه‌های آن چندجمله‌ای که ریشه‌های مخرج‌های عبارتی که ساده‌اش کردید نباشند، مقدارهای ممکن برای c خواهند بود، با جایگذاری در فرمول‌های اصلی مقدارهای b و a را نیز بدست‌آورید.

---

با اين راه حل وقتي به صورت معادله يك مجهول در اومد يه معادله با درجه بالاي 3 بدست مياد كه حل كردنش خيلي سخت ميشه .

---

@A Math L مراحلی که رفته‌اید را بیاورید به همراه معادلهٔ ساده‌شده تا برای دنبالهٔ مسیر راهنمایی‌تان کنم.

Answer 1

خودم جوابو پيدا كردم . جوابو گذاشتم برا كسايي كه ميخوان بخونن : به سادگي با جايگذاري ميشه فهميد يكي از جواب هاي معادله برابر [0,0,0] و اگه يكيشون صفر باشن بقيه هم صفرن . حال فرض ميكنيم برابر صفر نباشن اول 2 طرف تساوي رو معكوس ميكنيم : $ \frac{1}{b}= \frac{1+a^2}{2a^2}$

$ \frac{1}{c}= \frac{1+b^2}{2b^2}$

$ \frac{1}{a}= \frac{1+c^2}{2c^2}$

ميتوان نوشت ميشود : $0= \frac{1+a^2}{2a^2} - \frac{1}{b} $

2 عبارت ديگر را نيز به همين صورت مينويسيم و با هم جمع ميكنيم :

$0= \frac{1+a^2}{2a^2} - \frac{1}{a}+ \frac{1+b^2}{2b^2} - \frac{1}{b} + \frac{1+c^2}{2c^2} - \frac{1}{c} $

حال 2 طرف تساوي را در 2 ضرب ميكنيم :

$0= \frac{1+a^2}{a^2} - \frac{2}{a}+ \frac{1+b^2}{b^2} - \frac{2}{b} + \frac{1+c^2}{c^2} - \frac{2}{c} $

باتوجه به اينكه : $ \frac{1+a^2}{a^2} - \frac{2}{a} = \frac{1}{a^2} - \frac{2}{a} +1=( \frac{1}{a} -1)^2$

ميتوان نوشت :

$( \frac{1}{c} -1)^2+( \frac{1}{a} -1)^2+( \frac{1}{b} -1)^2=0$

و نتيجه ميشود $a=b=c=1$

پس جواب هاي معادله عبارتند از : $[1,1,1]$ و $[0,0,0]$

Answer 2

ثابت می کنیم که $a=b=c$

اولا بدیهی است که همه متغیرها نامنفی هستند. $1+ a^{2} = (1-a)^{2} +2a \geq 2a$ بنابراین $b \leq a$ به همین ترتیب به راحتی نتیجه می شود که $c \leq b,a \leq c$پس $a=b=c$بنابراین $a= \frac{2 a^{2} }{1+ a^{2} } \rightarrow a^{3} -2 a^{2} +a=0 $

---

$a (a-1)^{2} =0 \rightarrow a=0,a=1 $

Comments

$1+a^2  \geq  2a$ بنابراین $a \geq b$

میشه این قسمتو بیشتر توضیح بدین که چجوری میشه نتیجه  گرفت .

---

این نامساوی رو عکس کن بعد طرفین رو در 2a^2 ضرب کن