به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
29 بازدید
در دانشگاه توسط maara
ویرایش شده توسط erfanm

فرض کنید $u \in Mon_{j} (S)$ و $u= x_{ k_{1} } , x_{ k_{2} } ,... x_{ k_{j} } $ آنگاه داریم. $ Mon_{j} (S)- L_{u} = \bigcup_{i=1}^j \{x_{ k_{i}+1 } ,..., x_{ k_{n}}\}^{j-i+1} \prod_{r=1}^{i-1} x_{ k_{r}}$ .نحوه ی شمارش این عبارت و طرز نوشت تعداد آن را بیان کنید.

مرجع: فصل ششم کتاب هرزوگ هیبی

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط erfanm
انتخاب شده توسط maara
 
بهترین پاسخ

برای اثبات ابتدا رابطه ی $ Mon_{j} (S)- L_{u} =\{ x_{ k_{1}+1 } ,..., x_{ k_{n}} \}^{j} \bigcup (Mon_{j-1} (S)- L_{ux_{ k_{1}}^{-1}}) x_{ k_{1} }$ را اثبات می کند

ازفرض استقرا داریم:(دقت کنید در این حالت $ux_{ k_{1}}^{-1}= x_{ k_{2} } \times ... \times x_{ k_{j} }$) $Mon_{j-1} (S)- L_{ux_{ k_{1}}^{-1}}=\bigcup_{i=2}^j \{x_{ k_{i}+1 } ,..., x_{ k_{n}}\}^{j-i+1} \prod_{r=2}^{i-1} x_{ k_{r}} $

پس با جایگذاری حکم نتیجه می شود.

اما برای اثبات رابطه اول فرض کنید $w \in Mon_{j} (S)- L_{u}$ باشد دو حالت داریم:

1) فرض $ x_{ k_{1}} \nmid w $ از آنجایی که $w \notin L_{u}$ پس باید $w \leq _{lex} u $ و این یعنی $w $ باید توسط عناصری از مجموعه $ \{x_{ k_{1}+1 } ,..., x_{ k_{n}}\}$ تولید شود.

) فرض $ x_{ k_{1}} \mid w $ از آنجایی که $w \notin L_{u}$ پس باید $w \leq _{lex} u $ پس $ \frac{w}{x_{ k_{1}}} \leq _{lex} \frac{u }{x_{ k_{1}}} $ یعنی $\frac{w}{x_{ k_{1}}} \in Mon_{j-1} (S)- L_{ux_{ k_{1}}^{-1}} $ پس $w \in (Mon_{j-1} (S)- L_{ux_{ k_{1}}^{-1}}) x_{ k_{1} }$


برای شمارش باید تعداد حالات $\{x_{ k_{i}+1 } ,..., x_{ k_{n}}\}^{j-i+1}$ را بشماریم(بقیه ثابت هستند و یک حالت دارند) از تغییر متغیر $ l=j-i+1 \rightarrow i=j-l+1$ استفاده میکنیم تعداد حالات $\{x_{ k_{j-l+1}+1 } ,..., x_{ k_{n}}\}^{l}$ را می شماریم

معنی جمله این است که باید $ l $ عنصر را از بین عناصر مجموعه $\{x_{ k_{j-l+1}+1 } ,..., x_{ k_{n}}\}$ انتخاب کنیم(تکرار مجاز است) که تعدادشان برابر است با $ n- k_{j-l+1} $(تکرار مجاز است در حالت انتخاب $j $ شی از $n$ شی فرمول$ {n+j-1} \choose j $ را داریم.)

پس با جایگذاری در فرمول داریم: $${n- k_{j-l+1}+l-1} \choose l$$

حال اگر از تغییر متغییر $l=i$ استفاده کنیم حکم برقرار است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...