برای اثبات ابتدا رابطه ی
$ Mon_{j} (S)- L_{u} =\{ x_{ k_{1}+1 } ,..., x_{ k_{n}} \}^{j} \bigcup (Mon_{j-1} (S)- L_{ux_{ k_{1}}^{-1}}) x_{ k_{1} }$
را اثبات می کند
ازفرض استقرا داریم:(دقت کنید در این حالت $ux_{ k_{1}}^{-1}= x_{ k_{2} } \times ... \times x_{ k_{j} }$)
$Mon_{j-1} (S)- L_{ux_{ k_{1}}^{-1}}=\bigcup_{i=2}^j \{x_{ k_{i}+1 } ,..., x_{ k_{n}}\}^{j-i+1} \prod_{r=2}^{i-1} x_{ k_{r}} $
پس با جایگذاری حکم نتیجه می شود.
اما برای اثبات رابطه اول فرض کنید $w \in Mon_{j} (S)- L_{u}$ باشد دو حالت داریم:
1) فرض $ x_{ k_{1}} \nmid w $ از آنجایی که $w \notin L_{u}$ پس باید $w \leq _{lex} u $ و این یعنی $w $ باید توسط عناصری از مجموعه $ \{x_{ k_{1}+1 } ,..., x_{ k_{n}}\}$ تولید شود.
) فرض $ x_{ k_{1}} \mid w $ از آنجایی که $w \notin L_{u}$ پس باید $w \leq _{lex} u $ پس $ \frac{w}{x_{ k_{1}}} \leq _{lex} \frac{u }{x_{ k_{1}}} $ یعنی $\frac{w}{x_{ k_{1}}} \in Mon_{j-1} (S)- L_{ux_{ k_{1}}^{-1}} $ پس $w \in (Mon_{j-1} (S)- L_{ux_{ k_{1}}^{-1}}) x_{ k_{1} }$
برای شمارش باید تعداد حالات $\{x_{ k_{i}+1 } ,..., x_{ k_{n}}\}^{j-i+1}$ را بشماریم(بقیه ثابت هستند و یک حالت دارند) از تغییر متغیر $ l=j-i+1 \rightarrow i=j-l+1$ استفاده میکنیم تعداد حالات $\{x_{ k_{j-l+1}+1 } ,..., x_{ k_{n}}\}^{l}$ را می شماریم
معنی جمله این است که باید $ l $ عنصر را از بین عناصر مجموعه $\{x_{ k_{j-l+1}+1 } ,..., x_{ k_{n}}\}$ انتخاب کنیم(تکرار مجاز است) که تعدادشان برابر است با
$ n- k_{j-l+1} $(تکرار مجاز است در حالت انتخاب $j $ شی از $n$ شی فرمول$ {n+j-1} \choose j $ را داریم.)
پس با جایگذاری در فرمول داریم:
$${n- k_{j-l+1}+l-1} \choose l$$
حال اگر از تغییر متغییر $l=i$ استفاده کنیم حکم برقرار است.
