Question

یک مثال برای اعداد بتی و نحوه ی بدست آوردن دقیق آن ها را بیاورید ممنون

Answer 1

مثلا ایده آل دلخواه $I=(xyz,xqw,xwy,yxq,yzq,xye,qwe)$ را در نظر بگیرید یک روش خوب و راحت برای بدست آوردن اعداد بتی بدست آوردن تحلیل مینیمال ($minimal \ resolution$) است که با استفاده از نرم افزار $cocoa$داریم:

$0 \rightarrow S(-6) \rightarrow S(-5)^{4} \bigoplus S(-6) \rightarrow S(-4)^{9} \bigoplus S(-5) \rightarrow S(-3)^{7} \rightarrow \frac{S}{I} \rightarrow 0$

منظور از$i$ شماره مر حله است از سمت راست مرحله 1 ، 2 ، 3 و 4 را داریم

در مرحله ی 1 فقط $S(-3)^{7}$ را داریم لذا $B_{i,j}= B_{1,3} =7$

در مرحله ی 2 فقط $S(-4)^{9} \bigoplus S(-5)$ را داریم لذا $B_{i,j}= B_{2,4} =9$ و $B_{i,j}= B_{2,5} =1$

در مرحله ی 3 فقط $S(-5)^{4} \bigoplus S(-6)$ را داریم لذا $B_{i,j}= B_{3,5} =4$ و $B_{i,j}= B_{3,6} =1$

در مرحله ی 4 فقط $S(-6)$ را داریم لذا $B_{i,j}= B_{4,6} =1$

(اعداد بتی توانها هستند)

Comments

ببخشید بجز استفاده از برنامه ی CoCoA راه دیگه ای وجود ندارد؟ یعنی خودمان آن را بدست آوریم؟
تحلیل مینیمال رو چجوری بنویسیم؟

Answer 2

اگر به کتابایده آلهای تک جمله ای هرزوگ هیبی، صفخه 265 مراجعه نمایید روش کامل و جامع را ارایه داده است که در اینجا این روش را روی یک مثال پیاده می کنم.

برای ایده آل $(x, y, z^2)$ اعداد بتی را می یابیم. ابتدا برای راحتی کار قرار می دهیم $u_{1} =x$ و $u_{2} =y$ و $u_{3} = z^{2}$ حال تعریف می کنیم $\varphi :S(-2) \bigoplus S(-1)^{2} \longmapsto I$ که در آن پایه های $e_{i}$ به $u_{i}$ نگاشته می شوند ($e_{1}$و$e_{2}$ از درجه 1 و $e_{3}$ از درجه 2 است) پس مرحله ی اول بدست آمد. حال برای اینکه مرحله ی دوم را بدست آوریم(نوشتن تحلیل) ابتدا $ker( \varphi )$ را بدست می آوریم و طبق قضیه اگر بخواهیم تحلیل می نیمال باشد باید مجموعه مولد مینیمال را برای $ker( \varphi )$ بیابیم. سپس به طور مشابه بالا عمل می کنیم.

برای اینکار ابتدا را بطه های بین مولد ها را می نویسیم.

$xu_{2}=yu_{1}$ پس $\varphi (xe_{2}-ye_{1})=xu_{2}-yu_{1}=0$

$z^{2} u_{1}=xu_{3}$ پس $\varphi ( z^{2} e_{1}-xe_{3})=z^{2}u_{1}-xu_{3}=0$

$z^{2} u_{2}=yu_{3}$ پس $\varphi ( z^{2} e_{2}-ye_{3})=z^{2}u_{2}-yu_{3}=0$

لذا $ker( \varphi )$ دارای 3 مولد مینیمال است حال درجه هر عنصر را بدست می آوریم

درجه $g_{1}= xe_{2}-ye_{1}$: درجه $e_{1}$ و $y$ برابر 1 است لذا درجه $ye_{1}$ برابر 2 است بطور مشابه درجه $xe_{2}$ نیز 2 است لذا درجه $xe_{2}-ye_{1}$ برابر 2 است.

درجه $g_{2}=z^{2} e_{1}-xe_{3}$ برابر 3 است.

درجه $g_{3}=z^{2} e_{2}-ye_{3}$ برابر 3 است.

پس در مرحله بعد تعریف می کنیم $\phi :S(-2) \bigoplus S(-3)^{2} \longmapsto ker( \varphi )$ که ${e^{'} }_{i} \mapsto g_{i}$

پس تحلیل زیر را تا بدین جا خواهیم داشت.

$S(-2) \bigoplus S(-3)^{2} \longmapsto S(-2) \bigoplus S(-1)^{2} \longmapsto I$

حال تنها رابطه برای $ker( \phi )$ از رابطه ی $z^{2}g^{1} -xg^{3}+yg^{2}=0$ بدست می آید یعنی

$\phi (z^{2}{e^{'} }_{1} -x{e^{'} }_{3}+{e^{'} }_{2})=z^{2}g^{1} -xg^{3}+yg^{2}=0$

در جه ی $z^{2}{e^{'} }_{1} -x{e^{'} }_{3}+{e^{'} }_{2}$ برابر است با 4 لذا در مرخله آخر $S(-4)$ را داریم.

با کمک نرم افزار $cocoa$ هم همین جواب بدست می آید کافیست دستورات زیر را تایپ کنید:

$$Use R ::= QQ[x,y,z];$$ $$I := Ideal(x, y, z^2);$$ $$Res(R/I);$$