اگر به کتابایده آلهای تک جمله ای هرزوگ هیبی، صفخه 265 مراجعه نمایید روش کامل و جامع را ارایه داده است که در اینجا این روش را روی یک مثال پیاده می کنم.
برای ایده آل $(x, y, z^2)$ اعداد بتی را می یابیم. ابتدا برای راحتی کار قرار می دهیم
$u_{1} =x $ و $ u_{2} =y $ و $u_{3} = z^{2} $ حال تعریف می کنیم $ \varphi :S(-2) \bigoplus S(-1)^{2} \longmapsto I $ که در آن پایه های $ e_{i} $ به $ u_{i} $ نگاشته می شوند ($ e_{1}$و$ e_{2} $ از درجه 1 و $e_{3} $ از درجه 2 است)
پس مرحله ی اول بدست آمد. حال برای اینکه مرحله ی دوم را بدست آوریم(نوشتن تحلیل) ابتدا $ker( \varphi ) $ را بدست می آوریم و طبق قضیه اگر بخواهیم تحلیل می نیمال باشد باید مجموعه مولد مینیمال را برای $ ker( \varphi ) $ بیابیم. سپس به طور مشابه بالا عمل می کنیم.
برای اینکار ابتدا را بطه های بین مولد ها را می نویسیم.
$xu_{2}=yu_{1}$ پس $ \varphi (xe_{2}-ye_{1})=xu_{2}-yu_{1}=0$
$ z^{2} u_{1}=xu_{3}$ پس $ \varphi ( z^{2} e_{1}-xe_{3})=z^{2}u_{1}-xu_{3}=0$
$ z^{2} u_{2}=yu_{3}$ پس $ \varphi ( z^{2} e_{2}-ye_{3})=z^{2}u_{2}-yu_{3}=0$
لذا $ ker( \varphi ) $ دارای 3 مولد مینیمال است حال درجه هر عنصر را بدست می آوریم
درجه $ g_{1}= xe_{2}-ye_{1} $: درجه $ e_{1}$ و $y$ برابر 1 است لذا درجه $ye_{1}$ برابر 2 است بطور مشابه درجه $ xe_{2}$ نیز 2 است لذا درجه $ xe_{2}-ye_{1} $ برابر 2 است.
درجه $g_{2}=z^{2} e_{1}-xe_{3}$ برابر 3 است.
درجه $g_{3}=z^{2} e_{2}-ye_{3}$ برابر 3 است.
پس در مرحله بعد تعریف می کنیم $ \phi :S(-2) \bigoplus S(-3)^{2} \longmapsto ker( \varphi )$ که $ {e^{'} }_{i} \mapsto g_{i} $
پس تحلیل زیر را تا بدین جا خواهیم داشت.
$S(-2) \bigoplus S(-3)^{2} \longmapsto S(-2) \bigoplus S(-1)^{2} \longmapsto I $
حال تنها رابطه برای $ker( \phi )$ از رابطه ی $z^{2}g^{1} -xg^{3}+yg^{2}=0$
بدست می آید یعنی
$ \phi (z^{2}{e^{'} }_{1} -x{e^{'} }_{3}+{e^{'} }_{2})=z^{2}g^{1} -xg^{3}+yg^{2}=0 $
در جه ی $ z^{2}{e^{'} }_{1} -x{e^{'} }_{3}+{e^{'} }_{2} $ برابر است با 4 لذا در مرخله آخر $ S(-4)$ را داریم.
با کمک نرم افزار $ cocoa $ هم همین جواب بدست می آید کافیست دستورات زیر را تایپ کنید:
$$ Use R ::= QQ[x,y,z];$$
$$ I := Ideal(x, y, z^2);$$
$$ Res(R/I);$$
