آیا کران یک مجموعه باید عددی بیرون از خود آن مجموعه باشد؟ برای مثال کران ها و سوپریمم و اینفیمم مجوعه های $(-\infty,1)$ و $(0,\infty)$ را بیابید.

Question

در مجموعه های زیر sup و inf را بیابید

الف) $E=(-\infty,1)$

ب) $E=(0,\infty)$

با سلام و درود

من به این صورت نوشتم :

برای الف:

مجموعه کرانهای بالا= $[1، +\infty)$ پس sup=1

مجموعه کران پایین تهی هست پس inf نداره.

برای ب)

مجموعه کران بالا تهی هست پس sup ندارد

مجموعه کران پایین =$(-\infty,0]$ پس inf=0 است.

آیا چیزی که من نوشتم صحیح هست؟ ممنون میشم راهنماییم کنید

ما sup و inf تازه خوندیم چند تا نکته ازش فهمیدم می خواستم بدونم آیا صحیح است چیزی که من فهمیدم؟

اول این که کرانها نسبت به اعداد گویا نوشته میشه و هر بازه ای که داده شده باشه کمتر از اون بازه داده شده میشه کران پایین و بیشتر از اون بازه داده شده میشه کران بالا. برای sup در کران های بالا بیشترین مقدار رو پیدا می کنیم و برای inf در کرانهای پایین کوچکترین مقدار رو پیدا میکنیم.

و میشه ‌sup و inf رو از خود بازه ای که داده شده هم پیدا کرد بدون این که کرانها رو بنویسیم; بیشترین مقدار اون بازه میشه sup و کمترین مقدار میشه inf. و اگر در هر طرف بازه بینهایت بود پس sup یا inf ندارد. پس میشه گفت sup همان max است و inf همان min است.

و برای نوشتن کرانها، وقتی کران ها رو می نویسیم جزو اون بازه نیست و خارج از اون بازه ای هست که به ما داده شده.

ممنون میشم راهنماییم کنید، آیا چیزایی که من فهمیدم صحیح هست؟

Comments

@ailin پاسخ درست است ولی جمله‌ای که گفتید «نسبت به اعداد گویا نوشته می‌شود» نادرست است. اگر پرسش نگفته‌است که کران بالا یا پائین در اعداد گویا، پس نیازی به محدود کردن خودتان به اعداد گویا نیز نیست. کران هم الزاما بیرون از مجموعه نیست. ۱ نیز یک کران بالا برای مجموعهٔ $\lbrace -1, 0, 1\rbrace$ در $\mathbb{R}$ است.

---

@Amirhosein خیلی ممنون استاد.
برای اون قسمتی که نوشتم نسبت به اعداد گویا، ما برای نوشتن کرانها از $(∞,∞-)$ می نوشتیم.  این اشتباهه؟

---

@ailin جملهٔ «ما برای نوشتن کران‌ها از $(-\infty,\infty)$ می‌نوشتیم» روشن نیست. منظورتان چیست؟

---

اشتباه می کنید. پاسخ درست نیست. پاسخ درست را نوشته ام

---

@AbbasJ متنی که آقا یا خانم @ailin از خط «برای الف» تا قبل از خط «آیا چیزی» نوشته‌اند درست است و اگر امتحان می‌بود نمرهٔ کامل پرسش را می‌گرفتند. پس جملهٔ «پاسخ درست است» درست است! اما ایشان در چند مفهوم مشکل داشتند که در ادامه مطرح کرده‌اند. علت دادن ۶ امتیاز منفی به دیدگاه‌های دیگران در این پست چیست؟

Answer 1

توجه کنید که ما معمولا برای سوپریمم و اینفیمم، مجموعه اعداد حقیقی توسعه یافته یعنی مجموعه $\Bbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}$ را در نظر می گیریم. بنابراین

الف) $-\infty$ یک کران پایین برای E است و چون E کران پایین دیگری ندارد، پس $\inf{E}=-\infty$ از طرفی مشخص است که $\sup{E}=1$ ب) به شکل مشابه $\inf{E}=0$ و $\sup{E}=\infty$

Comments

کسی که سوال را خوانده است می داند که مجموعه مورد نظر کران پایین دیگری ندارد. بنابراین مثال شما، قیاس مع الفارق است. با وجود اینکه کلمه "باید" در دیدگاه شما با توجه به کانتکست سوال کاملا نادرست است ولی من  پاسخ خود را ویرایش می کنم تا خللی بر آن وارد نشود

---

@AbbasJ ویرایش جدیدی که کردید یعنی «منفی بینهایت یک کران پایین برای E است و چون E کران پایین دیگری ندارد، اینفیمم E منفی بینهایت می‌شود» درست است ولی جملهٔ پیشین «منفی بینهایت یک کران پایین برای E است پس اینفیمم E منفی بینهایت می‌شود» نادرست است. یا می‌توانستید جملهٔ «چون E در $\mathbb{R}$ کران پائینی ندارد، اینفیمم E منفی بینهایت می‌شود» (مطابق گفتهٔ آقای @kazomano) استفاده کنید که این نیز درست است. ولی کماکان جملهٔ قبلی‌تان به تنهایی با هیچ یک از این دو جملهٔ درست مترادف نیست.
امتیاز منفی به دیدگاه‌هایی که این اشتباه‌تان را اشاره کرده‌اند و چیزی که مع‌الفارق و غیره گفته‌اید خیلی به جا نیستند. امیدوارم که واکنش بهتری به دیدگاه‌هایی که مشکلی از متن‌تان را اشاره می‌کنند در آینده داشته‌باشید.

---

در پاسخ به یک سوال، از تمام فرضیات موجود در آن سوال، استفاده می شود. وقتی در سوال گفته شده است که مجموعه $E$ کران پایین ندارد، چه نیازی است که من دوباره آن را تکرار کنم؟

---

در صورت سوال گفته شده است که مجموعه E کران پایین ندارد. بنابراین نیاز به تکرار آن نیست. پس جمله من نادرست نبود. ممنونم از دفاع شما

---

@AbbasJ پرسش اصلی این است «کران پائین $(-\infty,1)$ و $(0,\infty)$ را بیابید» سپس پرسش‌کننده در تلاش خود گفته است «چون مجموعهٔ نخست کران پائین ندارد پس اینفیمم آن منفی بینهایت است» بعد پرسیده‌است که آیا پاسخش درست است یا خیر. بعد شما در دیدگاهی در زیر پرسش نوشته‌اید «اشتباه می کنید. پاسخ درست نیست. پاسخ درست را نوشته ام» و در پاسخ اولیه‌تان نوشته‌بودید «چون منفی بینهایت یک کران پائین برای آن بازه است، پس اینفیمم آن منفی بینهایت است». خب جملهٔ پرسش‌کننده درست است و جملهٔ قبلی شما نادرست. «اگر چیزی یک کران پائین باشد، الزاما بزرگترین کران پائین نیست»، حالا هر چقدر بالا یا پائین بروید این واقعیت که «کران پائین بودن» به تنهایی اینفیمم بودن را نتیجه نمی‌دهد و با آن مترادف نیست و یا با «کران پائین دیگری ندارد» یا «کران پائینی ندارد» نیز مترادف نیست، تغییری نخواهد کرد. من متوجه نمی‌شوم چرا از اینکه گفته‌شده‌ یک جمله را اشتباه نوشته‌بودید انقدر ناراحت شدید. خود من تا حالا شده که چیزی را نادرست نوشتم و کاربری در دیدگاهی اشاره کرده‌است، خیلی هم خوشحال شدم، پاسخم را ویرایش کردم و به دیدگاه مفید کاربر امتیاز مثبت داده‌ام. به همین سادگی و شباهتی به توهین شخصی ندارد. @admin