دو نقطه و دو دایره در یک صفحهٔ مشبکه داریم. برای رفتن از یک نقطه به دیگری کمترین میزان مسافتی که بیرون دایره ها باید پیمود را بیابید.

Question

۷۵- در یک روز بارانی، علی می‌خواهد از نقطهٔ $A$ به نقطهٔ $B$ برود. مطابق شکل، در مسیر او چادرهای دایره‌ای‌شکلی هستند که او را از باران حفظ می‌کنند. یکی از مسیرهای ممکنی که علی می‌تواند طی کند تا به مقصد برسد، با خط‌چین مشخص شده‌است. علی دست‌کم چه مسافتی را زیر باران خواهد پیمود؟

1. $4+\sqrt{5}$
2. $\sqrt{145}-6$
3. $\sqrt{13}+2+\sqrt{2}$
4. $\sqrt{2}+6$

Answer 1

مرکز دایرهٔ سمت چپ را $O_1$ و مرکز دایرهٔ سمت راست را $O_2$ بنامید.

نکته‌ای که برای این پرسش مدّنظر بوده‌است این است که کوتاهترین مسیر در هندسهٔ اقلیدسی بین یک نقطه تا مرز یک دایره، پاره‌خطی است که بر محیط دایره عمود باشد که هم‌ارز با این است که امتداد شعاعی از دایره باشد که بر روی خط واصل مرکز دایره و آن نقطه قرار دارد.

چون می‌خواهیم مسافتی را که زیر سایه‌بان‌ها یا همان چادرها نیستیم را کمینه کنیم پس باید کمترین مسافت را از نقطهٔ $A$ تا دایرهٔ چپ و سپس کمترین مسافت را از دایرهٔ چپ به دایرهٔ راست و سپس کمترین مسافت از دایرهٔ راست تا نقطهٔ $B$ را برگزینیم.

با توجه به نکته، کوتاهترین مسافت بین $A$ و دایرهٔ چپ پاره‌خطی است که در تصویر پائین با رنگ آبی کشیده‌ایم که بر روی پاره‌خط $AO_1$ نشان داده‌ایم. کل $AO_1$ با کمک قانون بابلیان (فیثاغورث) برابر است با $\sqrt{3^2+4^2}$ قسمتی از این پاره‌خط که درون دایره قرار دارد دقیقاً یک شعاع از این دایره است پس مسافت خارج از آن برابر است با $5-2=3$. اکنون قسمت آبی‌رنگ دوم. این پاره‌خط برابر با پاره‌خط $O_1O_2$ منهای دو شعاع، یکی از دایرهٔ چپ و یکی از دایرهٔ راست. پس دارازای این مسافت برابر است با $\sqrt{(7-3)^2+(7-4)^2}-2-1=2$ و اما قسمت پایانی که برابر است با $O_2B$ منهای یک شعاع از دایرهٔ راست. یعنی $\sqrt{(9-7)^2+(8-7)^2}-1=\sqrt{5}-1$.

پس در کل جمع درازای سه مسافت آبی که برابر کمترین مسافت ممکن زیر باران است می‌شود؛ $3+2+\sqrt{5}-1=4+\sqrt{5}$. گزینهٔ الف.

Comments

@AmirHosein یه اشتباه نوشتاری وجود داره، کمترین مسافت طی شده در بیرون چادر می خواهیم که اشتباها بجای بیرون، کلمه زیر اشاره شد اما راه حل بر حسب بیرون حل شد و کاملا صحیح است.

---

@amir7788 اشتباه تایپی تصحیح شد.