یا هیچکدام از $x_i$ ها صفر نیستند یا یکی از آنها صفر است.
اول فرض کنید که یکی از $x_i$ ها مثلن $x_1$ صفر باشد.(چون دستگاه نسبت به مجهولات متقارنه این کار منطقی است):
$x_1=0 \Rightarrow x_2-x_4=(x_2+x_3)-(x_3+x_4)=x_4^2-x_5^2=(x_4-x_5)(x_4+x_5) $
$=(x_4-x_5)x_1=(x_4-x_5) \times 0=0 \Rightarrow x_2=x_4 \wedge x_4+x_5=0 \wedge x_5$
$=-x_2 \Rightarrow x_2^2+x_3^2=0 \Rightarrow x_2=x_3=x_4=0 \Rightarrow x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=0$
حال اگر هیچکدام از $x_i$ ها صفر نباشند قرار دهید:
$a=Max_{1 \leq i \leq x}x_i \wedge b=Min_{1 \leq i \leq 5}x_i$
$\Rightarrow \exists i,j,s,k:a^2=x_i+x_j \leq a+a=2a \wedge b^2=x_s+x_k \geq b+b=2b$
از طرفی دیگر:
$0 \leq x_1^2+...+x_5^2=2(x_1+...+x_5) \leq 2(a+...+a)=10a \Rightarrow a>0 \Rightarrow a \leq 2$
حالا برای $b$ دو حالت داریم.$b>0$ یا $b< 0$:
$if:b>0 \Rightarrow b>0 \wedge b^2 \geq 2b \Rightarrow b \geq 2 \Rightarrow 2 \leq b \leq a \leq 2 $
$\Rightarrow a=b=2 \Rightarrow x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=2$
$if:b< 0$
پس حداقل یک مجهول منفی را داریم.حال اگر در دستگاه معادله به جای هر مجهول با مقدار منفی قرینه آنها گذاشته شود و استدلال را تکرا کنیم باید $b=-2 $ باشد و اگر به ساختار معادله ها توجه شود برای حداقل یک $i$ داریم:
$x_{i+1}^2=b+x_i=-2+2=0 \vee -2-2=-4 \perp $
پس حالت منفی برای $b$ امکان ندارد و لذا دو جواب داریم:
$x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=0 \wedge x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=2$
$ \Box $
