معادله ، $x$ ها را بیابید

Question

$ x_{1} + x_{2} = x_{3} ^2$

$ x_{2} + x_{3} = x_{4} ^2$

$ x_{3} + x_{4} = x_{5} ^2$

$ x_{4} + x_{5} = x_{1} ^2$

$ x_{5} + x_{1} = x_{2} ^2$

تو راهنماییش نوشته بود بزرگترین و کوچکترین $ x_{i} $ رو برابر $a$ و $b$ بگیرید و ثابت کنید $a=b$

Comments

خوب معادله میتونه چند تا جواب داشته باشه ما فقط کافیه ثابت کنیم $a=b$ دیگه ادامه کار معلومه . سوال مشکل داشت که درستش کردم .

---

شما همه ی جواب ها رو می خواید؟

---

تو این سوال طبق راهنمایی کتاب  2 تا جواب بیشتر نداره مگه اینکه کتاب اشتباه کرده باشه
من اثبات برابری $a$ و $b$ رو میخوام .

---

اگه برنامه نویسی بلد باشید می توانید برنامه ای بنویسید که جواب ها را برایتان پیدا کند.در کل ۳۲جواب وجود دارد که به غیر از دو تا بقیه حتی گویا هم نیستند و اعداد اعشاری گنگ نامتناهی هستند.فکر کنم صورت مسعله شما اشکالا داره و باید تعداد جواب های صحیح رو می خواستید و گرنه پیدا کردن ۳۲ جواب تقریبا غیر ممکن به نظر می رسد.

---

تعداد جواب های صحیح کافیه . شما فرض کنیم $x$ ها اعداد صحیح هستند و مسعلرو حل کنید .

Answer 1

اگرهیچکدام از $x_i$ ها منفی نباشد.قرار دهید:

$a=Max_{1 \leq i \leq x}x_i \wedge b=Min_{1 \leq i \leq 5}x_i$

$\Rightarrow \exists i,j,s,k:a^2=x_i+x_j \leq a+a=2a \wedge b^2=x_s+x_k \geq b+b=2b \Rightarrow 2 \leq b$

از طرفی دیگر:

$0 \leq x_1^2+...+x_5^2=2(x_1+...+x_5) \leq 2(a+...+a)=10a \Rightarrow a>0 \Rightarrow a \leq 2$

$\Rightarrow a=b=2 \Rightarrow x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=2$

حالا نشان دهیم هیچکدام از $x_i$ منفی نیست.برهان خلف:فرض می کنیم که یکی از $x_i$ ها منفی باشد، بنابراین $b$ نیز منفی است.چون دستگاه متقارن است پس فرض کنید که:

$b=x_3 \Rightarrow 0 \leq x_1-x_3=(x_1+x_2)-(x_2+x_3)=x_3^2-x_4^2 \Rightarrow |x_4| \leq |x_3|$

$x_5^2=x_3+x_4\Rightarrow x_5=0 \Rightarrow x_3=x_1=x_2^2 \geq 0 \bot $

پس بنابه توضیحات بالا دستگاه فقط یک جواب دارد و آن عبارتست از:

$x_1=x_2=x_3=x_4=x_5=2$

$ \Box $