ثابت کنید $ \mu$ اندازه است هرگاه هر دنباله نزولی $ \{ A_{n}\}$ داشته باشیم $\mu(A_n)\to 0$.

Question

تابع $ \mu $ را روی $ \sigma $ جبر $S$ از زیر مجموعه های $X$ را متناهی جمعی گوییم هرگاه برای هر زیر مجموعه متناهی $E_{1} $ و .... و $ E_{n} $ از $S $ ، داشته باشیم $ \mu ( \bigcup_1^n E_{k} )= \sum_1^n \mu ( E_{k} ) $ تابع متناهی جمعی ، نامنفی و متناهی را روی $ \sigma $ جبر$ S $در نظر می گیریم . ثابت کنید $ \mu $ یک اندازه است اگر و تنها اگر برای هر دنباله نزولی $ \big\{ A_{n} \big\} $ از اعضای $S$ که اشتراک آنها تهی است ، دنباله $ \big\{ \mu(A_{n} )\big\} $ به صفر همگرا می باشد .

Comments

رو مساله فکر کردید خودتون؟
لطفا تلاشتون برای حلش رو بنویسید.
و راهنمایی بگیرید.

---

یعنی چی اشتراک آنها تهی است؟یعنی $\cap_{n =1}^\infty A_n=\emptyset$?

Answer 1

قرار دهید $A=\bigcup_1^\infty A_n $ و $ B_n=A\setminus \bigcup_1^n A_n $ . در اینصورت $B_n $ ها نزولی و اشتراکشان تهی است(چرا؟)

حال بنابر فرض مساله و از متناهی بودن اندازه داریم: $$ 0=\lim_{n\to\infty}\mu(B_n)= \mu(A)-\lim_{n\to\infty}(\mu(\bigcup_1^n A_n))$$

و از اینجا هم داریم: $$\mu(A)=\lim_{n\to\infty}\mu(\bigcup_1^n A_n)=\lim_{n\to\infty}\sum_1^n\mu(A_n)=\sum_1^\infty \mu(A_n) $$