خاصیت $M$-رشته ماکسیمال در یک ایده‌آل

Question

فرض کنید $R$ حلقه‌ای نوتری، $ M $ یک $R$-مدولی متناهی مولد، $I$ ایده‌آل سره $R$ که $IM \neq M$، نشان دهید

$ x_1, ...,x_n $ یک $M$-رشته ماکسیمال در $I$ است $ \Leftrightarrow $ $I \subseteq ZD_R( \frac{M}{(x_1, ...,x_n)M}) $

Answer 1

همان‌گونه که در پرسش دیگری فرض بستهٔ جبری بودن میدان ضرایب را جا انداخته‌بودید، اینجا نیز فرض $M$-دنباله بودنِ $\{x_1,\ldots,x_n\}$ را جا انداخته‌اید.

فرض کنید سمت راست برقرار باشد پس عضوی در $I$ که مقسوم‌علیه صفر ناصفر از $\frac{M}{\langle x_1,\ldots,x_n\rangle M}$ نباشد وجود ندارد و گر نه می‌توانیم به انتهای دنباله‌مان بیفزائیم و $M$-دنباله‌ای بلندتر اکید بیابیم که تناقض است. پس تمام ایده‌آل باید در مجموعهٔ مقسوم‌علیه‌های صفر مدول خارج‌قسمتی‌مان قرار بگیرد.

فرض کنیم سمت چپ برقرار باشد، اگر فرض $M$-دنباله بودنِ $\{x_1,\ldots,x_n\}$ را نداشته‌باشیم سمت راست نیز الزاما برقرار نیست. برای نمونه اگر $\{x_1,\ldots,x_{n-1}\}$، $M$-دنباله‌‌ای بیشینه می‌بود و $x_n$ یک مقسوم‌علیه صفر ناصفر، آنگاه با در نظر گرفتنِ $\{x_1,\ldots,x_n\}$، سمت چپ برقرار است در حالیکه سمت راست برقرار نیست.

پس فرض گفته‌شده برای برقراری پرسش‌تان لازم است و بعلاوه با افزودنش پرسش بدیهی می‌شود چون سمت چپ در واقع بیشینه بودن را می‌رساند و چیز زیادی برای اثبات نمی‌ماند.