اثبات رابطه ی میانه واضلاع مثلث

Question

اثبات فرمول رابطه ی میانه و اضلاع مثلثm x_{k} a=1 \frac{a}{b} 2 \sqrt{ab} 2c \bigwedge_a^b x 2+2b \bigwedge_a^b x 2-a \bigwedge_a^b x 2

Comments

اگه میشه باشکل توضیح بدین.

---

لطفا سوالتو ویرایش کن . منظورت $ m_{a}^2= \frac{b^2}{2} + \frac{c^2}{2} - \frac{a^2}{4}  $ نیست ؟

---

نه منظورم  AB به توان2+ACبه توان2=2 AMبه توان2+یک دومBCبه توان 2 است.

---

فرقی ندارن اگه $AM$ رو بیاری یه طرف همون بدست میاد الان اثباتشو میذارم .

---

چرا راهنمای تایپ ریاضی رو نمیخونید؟
http://math.irancircle.com/index.php?qa=tag&qa_1=راهنمای-تایپ

Answer 1

اگه میانه رو رسم کنی و به اندازه خودش ادامه بدی و به 2 سر اضلاع وصل کنی شکل زیر بدست میاد . ( $m$ میانه )

در چهارضلعی بالا چون قطر ها منصف است در نتیجه چهار ضلعی متوازی الاضلاع بوده و اضلاع روبرو برابرند .

حال با استفاده از قضیه کسینوس ها داریم : $(2m)^2=b^2+c^2-2bcCOS(B+C)$

چون$A$ مکمل $B+C$ است درنتیجه میتوان نوشت : $-(2bcCOS(B+C)=2bcCOS(A$

$2bcCOS(A)=b^2+c^2-a^2$

با جایگذاری در عبارت اول داریم :

$4m^2=2b^2+2c^2-a^2$

Comments

خیلی خیلی ممنونم.

Answer 2

ميتوانيم با استفاده از قضيه استوارت به رابطه مورد نظر برسيم .

**قضيه استوارت :‌ **

$$t^2 = \frac{b^2x+c^2y}{a}-xy$$

حال $x$ و $y$ هر دو برابر $ \frac{a}{2} $ هستند و $t=m_a$ است.

$$m_a ^2 = \frac{b ^ 2* \frac{ a } { 2 } + c^2 * \frac{a}{2} }{a} - \frac{a}{2} * \frac{a}{2} = \frac{ \frac{a}{2} (b^2 +c^2)}{a} - \frac{a^2}{4} $$ $$ \Longrightarrow m_a ^2 = \frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4} $$