به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
1,269 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط amirm20

سلام آیا مینیمم و ماکزیمم مطلق یک تابع مینیم و ماکزیمم نسبی هم محسوب میشوند . enter image description here

مثلا این تابع رو در نظر بگیرید که نقاط $ A,B $ نقاط انتهایی تابع هستن و

$ A $ مینیمم مطلق تابع است.

$ B $ماکزیمم مطلق تابع است

است آیا نقاط $ A,B $ میتوانیم بگوییم نقاط مینیمم و ماکزیمم نسبی هم هستن ؟

توسط fardina
اینجا رو ببینید: http://math.irancircle.com/1766

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط saderi7
انتخاب شده توسط amirm20
 
بهترین پاسخ

به صورت کلی میخواهیم در مورد بیشینه وکمینه تابع در بازه بپردازیم.مخصوصا نقاط های انتهایی و بازه .

ابتدا همسایگی متقارن $ a $ وهمسایگی چپ و راست $a$ با شکل نشان میدهیم .

enter image description here

تابع حقیقی $ f $ رو درنظر بگیرید . و فرض میکنیم $S \subseteq D_{f} $ و $c \in S$ باشد در این صورت

$ f(c) $:

ماکزیمم مطلق $ f $ بر $S $ است اگر

$$ \forall x \in S \longrightarrow f(c) \geq f(x)$$

$ f(c) $:

مینیمم مطلق $ f $ بر $ S $ است اگر

$$ \forall x \in S \longrightarrow f(c) \leq f(x) $$

$ f(c) $:

ماکزیمم نسبی $ f $ بر $ S $ است اگر

$$ \forall x \in ( |x-c|< r ) \in S \longrightarrow f(c) \geq f(x) $$

$ f(c) $: مینیمم نسبی $ f $ بر $ S $ است اگر

$$ \forall x \in ( |x-c|< r ) \in S \longrightarrow f(c) \leq f(x) $$

حال چند حالت پیش می آید .

$S=(a,b)$ : در این حالت نقاط انتهایی یعنی$a,b$ نه ماکزیمم مطلق ونسبی و نه مینیمم مطلق ونسبی هستند.!enter image description here

$S= [a,b) $ : در این حالت (ممکن) است$a$ ماکزیمم مطلق یا نسبی یا مینیمم مطلق یا نسبی باشند .enter image description here

$S= (a,b]$ : در این حالت (ممکن) است$a$ ماکزیمم مطلق یا نسبی یا مینیمم مطلق یا نسبی باشند .! enter image description here

$S= [a,b]$ :در این حالت (ممکن) است$a,b$ ماکزیمم مطلق یا نسبی یا مینیمم مطلق یا نسبی باشند .! enter image description here

$S= [a, +\infty )$ : در این حالت (ممکن) است$a$ یا مینیمم مطلق و نسبی یا ماکزیمم مطلق نسبی باشند .!enter image description here

$S= (-\infty ,b] )$ : در این حالت (ممکن) است$a$ یا ماکزیمم مطلق و نسبی یا مینیمم مطلق و نسبی باشند .!! enter image description here

$S= (-\infty ,b ) or (a,+\infty)$ : در این دو حالت ممکن نیست $ a,b $ ماکزیمم مطلق یا نسبی و مینیمم مطلق یا نسبی باشد .

حالاتی هم پیش می آید که باعث سوال میشود. تابع زیر رو در نطر بگیرید:enter image description here

در این تابع نقطه $(a, f(a))$ ماکزیمم مطلق و نسبی است .چرا ؟ زیرا

$ \forall x \in S \in D_f \longrightarrow f(a) \geq f(x) $بنابر این ماکزیمم مطلق است .

$ \forall x \in ( |x-a|< r ) = a \in S \longrightarrow f(a) \geq f(x) $ بنابر این ماکزیمم نسبی است .

$( \forall x \in ( |x-a|< r ) \in S)$ برابر میشود با $a$

تابع زیر رو در نطر بگیرید:enter image description here

در این تابع نقطه $ (a, f(a)) $ مینیمم مطلق و نسبی است .چرا ؟ زیرا

$ \forall x \in S \in D_f \longrightarrow f(a) \leq f(x) $بنابر این مینیمم مطلق است .

$ \forall x \in ( |x-a|< r ) = a \in S \longrightarrow f(a) \leq f(x) $ بنابر این مینیمم نسبی است .

$ (\forall x \in ( |x-a|< r ) \in S)$ برابر میشود با $a$

بنابر این هر ماکزیمم مطلق یا میینمم مطلق . ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی محسوب میشود .

ولی هر ماکزیمم نسبی و مینیمم نسبی ماکزیمم مطلق یا مینیمم مطلق محسوب نمیشود .

(در شکل هایی که رسم شده برای این بخش بیشتر تابع خطی رو بحث زیرا هدف ما تنها نقاط انتهایی بازه بود )

توسط kazomano
+1
یک سوال میخوام مطرح کنم

تو حالت دوم نقطه در همسایگی نقطه a مشتق تابع دارای یک علامته.چه طور a یک نقطه اکسترممه؟یا اینطور بگم که چرا اکسترمم؟(یعنی اکسترمم هست ولی چرا؟)
توسط saderi7
@kazomano
با توجه به تعارفی که ابتدا انجام دادم این نقطه میتوان ماکزیمم و مینیمم نسبی و مطلق باشد .
و اما سوالا شما که میگوید اگر مینیمم نسبی یا ماکزیمم نسبی است چرا مشتق در نقطه بحرانی ( همون a) از مثبت به منفی یا از منفی به مثبت تغییر علامت نداد .
اینکه باید بگم که این یک بازه نیمه بسته است و در a ابتدای بازه است در این صورت نمیتونیم از ازمون مشتق اول برای آن استفاده کنیم . یعنی وقتی بازه ایی بسته اس  یا نیمه بسته برای نقاط های انتهایی نمیتوانیم از آزمون مشتق اول استفاده کنیم . ولی طبق تعریف میتونیم بگوییم a میتواند ماکزیمم ومییینیمم مطلق یا نسبی باشد .
توسط kazomano
@ saderi7
فکرمیکنم منظورتون اینه که در نقطه انتهایی مشتق نداره ولی نیازی به مشتق پذیری در خود نقطه نیست همسایگی محذوف نقطه رو در نظر میگیرن.در اینجا چون همسایگی دو طرفه نیست به همین دلیل نمیتونیم بگیم که مشتق تغییر علامت نداده.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...