خیلی سوالتون برای من واضح نیست.
خوب هر نقطه ای رو در نظر بگیرید(چه بحرانی چه غیربحرانی) یا نقطه اکسترمم نسبی(مطلق) هست یا نقطه اکسترمم نسبی(مطلق) نیست!
طبق تعریف چنانچه $f:I\to \mathbb R$ و $I$ بازه ای در اعداد حقیقی باشد
نقطه درونی $c$ در دامنه تابع را نقطه بحرانی تابع گوییم هرگاه $f'(c)=0$ یا $f'(c)$ موجود نباشد.
قضیه ای که تحت عنوان قضیه نقطه بحرانی شناخته می شود و بیان کردید می گوید
اگر $c$ نقطه ی درونی $I$ و $f(c)$ مقدار اکسترمم تابع باشد، آنگاه حتما $c$ یک نقطه بحرانی است.
حال ما چطور می توانیم از این قضیه برای پیدا کردن نقاط اکسترمم یک تابع استفاده کنیم؟
در ریاضیات $P\implies Q$ (بخوانید P آنگاه Q) هم ارز است با $\sim Q\implies \sim P$ (بخوانید نه Q آنگاه نه P) که در آن منظور از $\sim P$ نقیض حکم $P$ است. در قضیه نقطه بحرانی بیان می شود که اگر $f(c)$ نقطه اکسترمم تابع باشد آنگاه نقطه درونی $c$ نقطه بحرانی است که بنابر آنچه گفته شد هم ارز است با: چنانچه نقطه درونی $c$ نقطه بحرانی نباشد آنگاه $f(c)$ نقطه اکسترمم نیست.
بنابراین برای پیدا کردن نقاط اکسترمم تابع کافی است نقاط بحرانی را بررسی کنیم به علاوه نقاط انتهایی بازه ها. چون همانطور که در تعریف نقطه بحرانی آمده است ما نقاط درونی را در نظر میگیریم و ناچاریم که نقاط انتهایی را جداگانه بررسی کنیم.
