اگر $n$ مضرب $3$ نباشد آنگاه $n$ به یکی از صورت های $\,3k+1$ و $3k+2\,$ است. اگر $n=3k+1$ پس:
$$ 3^{
2n}+ 3^{n}+1=9^{3k+1}+ 3^{3k+1}+1 \equiv (-4)^{3k+1}+3+1= $$
$$ (-4) (-64)^{k}+4\equiv -4+4=0\,\,\,\,\,\, (mod \,\,13) $$
همچنین اگر $n=3k+2$ داریم:
$$ 3^{2n} + 3^{n}+1 \equiv 9^{3k+2} +3^{3k+2}+1 \equiv 3 \times (-4)^{3k}+9+1 \equiv $$
$$ 3 \times 1+10 \equiv 0\,\,\,\,\,\, (mod \,\,13) $$
و اثبات کامل می شود.
