با درود به همراهان گرامی. با پیگیری مصرانه سرانجام راه حل کلی این مسئله را یافتم. این مسئله درواقع یک معادله دیوفانتی چهارمجهولی بشکل زیر است.
$$m(a+b+c)=abc\Longrightarrow (1)\quad a= \frac{m(b+c) }{ bc-m}$$
$$n(bc-m)=m(b+c)\Longrightarrow (2)\quad b= \frac{m(n+c) }{ cn-m}$$
$$p(cn-m)=m(n+c)\Longrightarrow (3)\quad c= \frac{m(p+n) }{ np-m}$$
$$q(np-m)=m(p+n)\Longrightarrow (4)\quad m= \frac{np(p+n) }{q+p+n}$$
$$r(q+p+n)=np\Longrightarrow (5)\quad n= \frac{p(p+q)}{p-r}-p-q$$
در معادله $5$ دو حالت $I$ و $II$ را داریم.
$$(I)\quad s(p-r)=p$$
$$\Longrightarrow (6)\quad p=r+\frac{r}{s-1}$$
$$\Longrightarrow (7)\quad r=t(s-1)$$
حال اگر معادل پارامترهای آخر را در معادلات (7) تا (1) جایگزین کنیم، خواهیم داشت.
$$m=qt(s-1)$$
$$a=(st+q)(s-1)$$
$$b=st$$
$$c=q$$
$\Longrightarrow [qt(s-1)]×((st+q)(s-1)+st+q)=(st+q)(s-1)×st×q$
مشخص است که باید $s > 1$ باشد تا مقادیر $m,a$ طبیعی باشند
$$(II)\quad s(p-r)=p+q$$
$$\Longrightarrow (6)\quad p=r+\frac{q+r}{s-1}$$
$$t(s-1)=q+r\Longrightarrow (7)\quad q=t(s-1)-r$$
حال اگر معادل پارامترهای آخر را در معادلات (7) تا (1) جایگزین کنیم، خواهیم داشت.
$$m=r(t(s-1)-r)$$
$$a=rs$$
$$b=r+t$$
$$c=t(s-1)-r$$
$\Longrightarrow [r(t(s-1)-r)]×(rs+(r+t)+(t(s-1)-r))=rs×(r+t)×(t(s-1)-r)$
مشخص است که باید $s > 1$ و $t(s-1)>r$ باشد تا مقادیر $m,c$ طبیعی باشند.
گرچه عملیات منجر به نتایج فوق کمی طولانی و پیچیده است، ولی به نتیجه سادهاش میارزد. با آرزوی موفقیت و سلامتی.
