برای اینکه حاصلضرب سه عدد طبیعی بر مجموعشان بخشپذیر باشد، چه شروطی لازم است؟

Question

بادرود به همراهان گرامی. برای اینکه حاصلضرب سه عدد طبیعی بر مجموعشان بخشپذیر باشد، چه شروطی لازم است؟ چیزی که مسلم است باید مجموع سه عدد، مساوی یکی از مقسوم‌علیه‌های حاصلضرب همان اعداد باشد. اما چگونه باید این دو حالت را باهم هماهنگ کرد؟ مثال نمونه:

$$(1)\quad(3+5+7)|(3×5×7)$$ $$(2)\quad(2+4+6)|(2×4×6)$$ اما $$\require{cancel}(3)\quad(4+6+8)\cancel{|}(4×6×8)$$ $$(4)\quad(7+9+11)\cancel{|}(7×9×11)$$

. با سپاس از توجه همراهان عزیز.

Answer 1

پاسخ سوال رو با ب.م.م و ک.م.م هم میشه حل کرد، اما من هرچقدر گشتم پیدا نشد، یک پاسخ دیگه هست که با عوامل اول هستش، اثباتش رو میتونید سرچ کنید پیدا کنید در کتب آنالیز مقدماتی، پاسخ به اینصورته که هر سه عدد رو به صورت عوامل اول بنویسید، سپس مجموع را هم بصورت عوامل اول بنویسید، اگر عوامل اول مجموع با عوامل اول سه عدد خط خوردند و برای عدد مجموع فقط $1$ باقی موند، آنگاه ضرب سه عدد بر جمعش بخشپذیر است، اگر نشد، بخشپذیر نیست. مثال: $$12,18,24,SUM=54,Prime Factors: 12=2^2*3,18=3^2*2,24=3*2^3,54=3^2*2$$ حال دو عبارت را با هم ساده میکنیم: $$\frac{2^2*3,3^2*2,3*2^3 }{3^3*2}=\frac{2^2,2^3}{1} $$ همانطور که میبینیم، چون در مخرج فقط عدد 1 باقیمان، پس حاصلضرب این سه عدد $(5184)$در یکدیگر بر مجموعشان بخشپذیر است. در مثال اینکه بر قرار نباشد هم: $$2,4,8 \rightarrow \frac{2,2^2,2^3}{2*7}=\frac{2^2,2^3}{7}$$ پس ضرب این سه عدد بر جمعشان بخشپذیر نیست، چون مخرج بیش از این قابل ساده تر شدن به $1$ نیست!

Comments

@M-1987 : پاسختان قابل توجه است و نصف سؤال بنده را جواب میدهد. ولی پرسش نهایی بنده این است که سه‌ عدد طبیعی را چگونه بیابیم که هماهنگی فوق را داشته باشند. درواقع میخواهیم مضربی مانند $m$ را بیابیم که مجموع سه عدد با حاصلضربشان را بهم مرتبط و هماهنگ کند. 1+
$$a×b×c=m(a+b+c)$$

---

خوب یک رابطه ساده از دل خود قضیه تقسیم بیرون میآید، خودتون هم بررسی کنید میبینید، یکم طولانی هست در اینجا نوشتنش بیهودست چرا که همانطور که گفتم ساده هست و از همین قضیه تقسیم در اعداد صحیح بیرون میآید. رابطه این هست: $x(\frac {b+c}{a}+1)=bc$ یعنی اینکه اگر دوعدد باهم جمع تقسیم بر عدد سوم بشوند، با 1 جمع شوند، باید عددی چون $x$ پیدا بشود که با ضرب در آن حاصل دقیقا برابر دو عدد جمع شده بشود. این شرط در جمع دو عدد هم هست، در چهار هم هست و در تعداد بیشتر اعداد هست، اما مشکل این هست که هم رابطه مذکور در دو عدد و هم این $x$ براحتی پیدا میشه اما در سه عدد به بالا همونطور که میبینید عدد $x$ حتی از خود تقسیم حاصلضرب سخت تر است! اما رابطه عوامل اول درواقع اگر توجه کنید، نه تنها برای بیشمار اعداد یکسان است و ثابت، بلکه نکته ای که پاسخ شمارا میدهد، همین هست که برای پیدا کردن مجهولاتی از این اعداد هم دوباره ترکیبی از اعداد اول میسازیم! یعنی در اینجا میگوییم که اگر اعدادی که مورد بحث هستند، مرکبه ای از اعداد اوی باشند که جمع این اعداد اول "اعدادی اول جدید حاصل نکند"، توجه کنید که: "اعداد اول جدیدی حاصل نکند"! آنگاه رابطه بخشپذیری هم برقرار است. اما اگر بدنبال فرمول هستید، این ناممکن هست، چرا؟ چون اگر در اعداد اول تحقیق کنید، میبینید که هرگز نمیتوان فرمولی برای اعداد اول ساخت! درواقع در اینجا هم اگر بگوییم مثلا مجموع دو عدد اول با توانهای فلان، فلان عدد اول میشود و همیشه برقرار است که اعداد اول را میتوان با دیگران ساخت، آنگاه درواقع حقیقت اینکه اعداد اول نا فرمول بندی هستند، نادیده گرفتیم. از آنجایی که پرسش شما هم درمورد جمع سه عدد هست، باید بدونیم که جمع سه عدد درواقع جمع نماهای اول است و این حقیقت ناورداییست که اعداد حاصل از جمع این توانهای اول، هرگز وابسته به اعداد نخست نخواهند بود! مثال: $2+3^2=11$ که واضح است 11 هیچ تناسبی با $2$ یا $3$ ندارد. پس نمیتوان فرمولی ساخت که حاصلجمع و ضرب را بدون دخالت عوامل اول  مرتبط کند! حتی همان پاسخ با ب.م.م و ک.م.م هم که قبلا گفتم به یک طریقی به عوامل اول روی می آورد که متاسفانه دقیقا رابطه را بیاد ندارم که مثلا برای 3 عدد مساوی چند میشد رابطه. بهر حال اگر بگوییم که چنان رابطه ای هست که هیچ ربطی به اعداد اول ندارد، این در آنالیز ثابت میشود که کاملا "غلط" هست، چرا که از نتایج این فرض(فرض خلف) همان بخشپذیر بودن اعداد اول خواهد بود! که نادرست است. اگر نتونستم پاسخ را روشن بگم ببخشید، زیاد هم شد گفته هام اما آنالیز یعنی همین دیگه:).

Answer 2

رابطه که باید بین سه عدد طبیعی a، b و x وجود داشته باشه به صورت زیر است که یکی از إنها ترکیب از دو تای دیگر a و b باشه $$x=kab-a-b $$ مقدار k را می توان 1 گرفت اما هر مقسوم علیه $a+b $ باشه در این صورت داریم $$ \frac{abx}{a+b+x}= \frac{ab(kab-a-b) }{kab} =ab-\frac{a+b}{k} $$ اگر $\frac{a+b}{k} =p $ باشه آنگاه حاصل آن عدد
$ab-p $ می باشد. برای مثال اول 3و5 و7 این رابطه وجود داره که در اینجا k یک می باشه یعنی $7=3×5-3-5$

متلا برای 3 و 5 و 22 نیز درسته چون 22 را می توان ترکیب 3و 5 با k برابر 2 که یکی از مقسوم علیه های مجموع 3 و 5 می باشه نوشت یعنی $$22=2×3×5 - 3-5 $$ برای مثال دوم عددهای 2 و 4 و 6 نیز چنین خاصیتی با k مساوی 1 وجود دارد. $$4=2*6-2-6 $$ برای مثال سوم عددهای 4 و 6 و 8 ممکن نیست چون هیج یک از سه تساوی زیر درست نیست $$4=48k-14 $$ $$6=32k-12 $$ $$8=24k-10 $$ مثال آخر خودتان بررسی کنید

Comments

@amir7788 : با درود بر دوست و استاد عزیز. بسیار عالی. در واقع شما حالت خاصی از متغیر $C$ در سؤال بنده را منظور کردید. حالت کلی $C$ با این روش بدست نمیاد ولی در نوع خود روش جالبی است. 1+

---

@ناصرآهنگرپور، حق باشماست با این حال بنظرم همین حالت کلیه جوابها این سوال عالی را مشخص می کنه؟ ضمنا عید کلیه دوستان و بر جنابعالی مبارک باشه.

---

@amir7788 : با درود و شادباش سال نو. مثال پایین با پارامترهای زیر ایجاد شده.
$$r=6,s=3,t=7$$
$$[r(t(s-1)-r)]×(rs+(r+t)+(t(s-1)-r))=rs×(r+t)×(t(s-1)-r)$$
$$m=48,a=18,b=13,c=8$$
$$48(18+13+8)=18×13×8$$
روش پاسختان کاملاً صحیح است ولی هرچه سعی کردم با روش شما و $k$ طبیعی این جواب رو بدست بیارم، امکانپذیر نشد. سربلند و تندرست باشید.

Answer 3

با درود به همراهان گرامی. با پیگیری مصرانه سرانجام راه حل کلی این مسئله را یافتم. این مسئله درواقع یک معادله دیوفانتی چهارمجهولی بشکل زیر است. $$m(a+b+c)=abc\Longrightarrow (1)\quad a= \frac{m(b+c) }{ bc-m}$$ $$n(bc-m)=m(b+c)\Longrightarrow (2)\quad b= \frac{m(n+c) }{ cn-m}$$ $$p(cn-m)=m(n+c)\Longrightarrow (3)\quad c= \frac{m(p+n) }{ np-m}$$ $$q(np-m)=m(p+n)\Longrightarrow (4)\quad m= \frac{np(p+n) }{q+p+n}$$ $$r(q+p+n)=np\Longrightarrow (5)\quad n= \frac{p(p+q)}{p-r}-p-q$$ در معادله $5$ دو حالت $I$ و $II$ را داریم.

$$(I)\quad s(p-r)=p$$

$$\Longrightarrow (6)\quad p=r+\frac{r}{s-1}$$ $$\Longrightarrow (7)\quad r=t(s-1)$$

حال اگر معادل پارامترهای آخر را در معادلات (7) تا (1) جایگزین کنیم، خواهیم داشت. $$m=qt(s-1)$$ $$a=(st+q)(s-1)$$ $$b=st$$ $$c=q$$ $\Longrightarrow [qt(s-1)]×((st+q)(s-1)+st+q)=(st+q)(s-1)×st×q$ مشخص است که باید $s > 1$ باشد تا مقادیر $m,a$ طبیعی باشند

$$(II)\quad s(p-r)=p+q$$

$$\Longrightarrow (6)\quad p=r+\frac{q+r}{s-1}$$ $$t(s-1)=q+r\Longrightarrow (7)\quad q=t(s-1)-r$$

حال اگر معادل پارامترهای آخر را در معادلات (7) تا (1) جایگزین کنیم، خواهیم داشت. $$m=r(t(s-1)-r)$$ $$a=rs$$ $$b=r+t$$ $$c=t(s-1)-r$$ $\Longrightarrow [r(t(s-1)-r)]×(rs+(r+t)+(t(s-1)-r))=rs×(r+t)×(t(s-1)-r)$ مشخص است که باید $s > 1$ و $t(s-1)>r$ باشد تا مقادیر $m,c$ طبیعی باشند. گرچه عملیات منجر به نتایج فوق کمی طولانی و پیچیده است، ولی به نتیجه ساده‌اش می‌ارزد. با آرزوی موفقیت و سلامتی.

Comments

بسیار عالی اما این جواب کلی نیست یعنی ممکنه جوابی دیگر با خاصیت دیگری وجود داشته باشه

---

@amir7788 : با درود به دوست و استاد همراه خوب. دیدگاهتان دقیقاً صحیح است زیرا حالت اول پاسخ قبلی بنده مثال پاسخ دوست گرامی @M-1987 را پوشش نمیدهد. فقط برای فرموله کردن پاسخ این سؤال، راه دیگری نیافتم. صمیمانه از توجهتان ممنونم. 1+

---

@amir7788 و @M-1987 : با درود به دوستان گرامی. حالت کلی را جایگزین پاسخ قبلی کردم که بررسی آن خالی از لطف نیست. فکر کنم مشکل ناکامل بودن پاسخ قبلی بنده با آن برطرف میشه. پاینده و پیروز باشید.