نکتهٔ پرسش، ساخت یک افراز است!
یک مجموعه را بوسیلهٔ یک تعداد زیرمجموعهاش افراز کردهایم هر گاه اجتماع این زیرمجموعهها خود مجموعهٔ اصلی شود (پس هیچ عنصری از مجموعهٔ اصلی نیست که در این بخشبندی از قلم افتادهباشد)، هیچ دو زیرمجموعهای اشتراک ناتهی نداشتهباشند (پس هر عنصری از مجموعهٔ اصلی دقیقا در یک بخش است! به سخن دیگر، هیچ عنصری دو بار شمرده نشدهاست!) و در پایان هیچ یک از این زیرمجموعهها تهی نباشد (برای جلوگیری از افزودن تعداد بیمعنی زیرمجموعهٔ تهی به بخشبندیمان).
روشن است که اگر مجموعهٔ $A$ بوسیلهٔ زیرمجموعههای $A_1$ تا $A_n$اش افراز شدهباشد داریم $|A|=|A_1|+\cdots+|A_n|$ (البته شرط متناهی بودن تعداد زیرمجموعهها را برای افراز نداریم بنابراین میشود افراز نامتناهی نیز داشتهباشیم البته مشروط بر نامتناهی بودن عدد اصلی مجموعهٔ اصلی). توجه کنید که $|A|$ یعنی عدد اصلی (که در حالت متناهی بودن، همان تعداد عنصر میشود) مجموعهٔ $A$.
زمان را به بازههای ۱۰۰ روزه تقسیم کنید، که حالا در پاسخ کتابها از واژه و لفظ سال استفاده کردهاند، ما نیز از همان واژهٔ سال برای راحتی شما استفاده میکنیم.
مجموعهٔ $A$ را مجموعهٔ کل مریخیهای وجود داشته از شروع زمان تا کنون بگیرید. چون هر مریخی دقیقا ۱۰۰ روز زندهاست پس مریخیای وجود ندارد که یک روز با عدد مشابه از دو سال را دیدهباشد! یعنی اگر روز پنجم سال $x$ زندهبودهاست، میتوان مطمئن شد که روز پنجم سال $x-1$ و یا سال $x+1$ و یا روز پنجم از هر سالی به غیر از همان سال $x$ را نبودهاست. سپاس از وجود فرض دقیقا نیمهشب (شروع یک روز از دید تقویم) به دنیا میآیند و دقیقا ۱۰۰ روز کامل زندگی میکنند، بحث اینکه نصف روز و ربع روز و حالتبندی وجود نخواهد داشت و میتوانیم اینگونه با قاطعیت بگوییم تنها در پنجم یک سال وجود داشتهاست. بعلاوه چون ۱۰۰ روز زندههستند پس از هر نوع روزی دقیقا یکی دیدهاند. اگر روز ششم به دنیا بیاید از ۶ تا ۱۰۰ سال تولدش و از ۱ تا ۵ سال پسین را وجود داشتهاست.
برای هر عدد $k$ از یک تا سال کنونی، یک زیرمجموعه از مجموعهٔ $A$ به نام $A_k$ به این شکل تعریف کنید. $A_k$ مجموعهٔ مریخیهایی باشد که در روز یکم سال $k$ زندههستند. با توجه به اینکه هر مریخیای از هر روز تقویم یک بار تجربه کردهاست پس هر مریخیای در یکی از این $A_k$ها قرار میگیرد. چون هیچ مریخیای دو تا سال متفاوت از یک روز تقویم را تجربه نمیکند پس هیچ مریخیای در اشتراک دو تا $A_k$ قرار نمیگیرد. تنها شرط باقیمانده برای افراز شدن، ناتهی بودن است. توجه کنید که به عنوان ریاضیدان باید دقیق باشید و از پیش خودتان به فرضهای پرسش چیزی نیافزائید. چون اثباتتان نیاز دارد بگوئید برقرار است یعنی اشتباه! بلکه چیزی که اینجا باید گفت این است که یک سری $A_k$ها ممکن است تهی باشند، چون با توجه به دیدگاهی که برای پرسش گذاشتم تنها چیزی که میدانیم این است که مقدار تابع تجمعی تولدها در هر جایی از زمان که نگاه کنید فرد است که نتیجه میدهد زاد و ولد در هر روزی از زمان به غیر از روز یکم زمان، عددی زوج است و صفر نیز عددی زوج است پس نمیتوان استناد داد که زاد و ولد در هر روز صورت میگیرد! پس یک سری $A_k$ها ممکن است خالی باشند، آنها را دور بریزید و مجموعههای باقیمانده را در نظر بگیرید. حاصل یک افراز برای $A$ است. پس عدد اصلی $A$ برابر جمع عدد اصلی تک تک زیرمجموعههای داخل این افراز میشود. چون اعضای $A$ کل مریخیهای از اول زمان تا کنون هستند پس برابر با مقدار همان تابع تجمعی تولد مریخی ها میشود و نیاز نیست با مرگ و میر اثرش دهیم. این عدد، عددی فرد است. حالا برویم سراغ زیرمجموعههای داخل افراز. اگر همهٔ آنها عدد اصلی زوج داشتهباشند آنگاه به تناقض میخوریم چون جمع یک تعداد عدد زوج، عددی زوج میشود. پس دستکم یک $k$ای وجود دارد که عدد اصلی $A_k$ فرد است. اما $A_k$ یعنی تداد مریخیهای زنده در روز یکم سال $k$ام. پس یک روز از محور زمان یعنی روز یکم سال $k$ام یافت شد که تعداد فرد، مریخی در آن روز زنده هستند. توجه کنید که روز یکم را اختیاری برداشتیم و به جای روز یکم میتوانستیم روز دوم تا روز صدم را برداریم پس با اثباتی مشابه ۹۹ زمان دیگر از محور زمان داریم که تعداد مریخیهای زنده در آن روزها فرد است. هیچ یک از این ۱۰۰ زمانی که با این روش پیدا میکنیم تکراری نیستند چون درست است که برخی از آنها شانس یکسان بودن سالشان وجود دارد ولی روز تقویمشان فرق دارد مثلا یکم سال ۲۳ و دوم سال ۲۳! البته توجه کنید که $k$های مربوط به هر دفعه که این مسیر را میرویم میتواند متفاوت باشد. یعنی اگر برای روز یکم سال ۲۳ درآمد، الزامی ندارد که برای روز سوم نیز سال ۲۳ دربیاید.
