به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
713 بازدید
در دانشگاه توسط fatemeh20

فرض کنید $U \subseteq R^n$ مجموعه‌ای باز باشد. تابع $f:U \longrightarrow R$ را در چه صورتی روی $U$ محدب قوی می‌گوییم؟ تعریف محدب قوی بودن چیست؟

توسط fardina
خوب این رو کجا دیدید؟
در جایی که دیدید لابد تعریف کرده!
توسط fatemeh20
@fardina
در یک مقاله دیدم و تعریفش نکرده بود. در اینترنت هم تعریف دقیقی پیدا نکردم..

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط kazomano
انتخاب شده توسط fatemeh20
 
بهترین پاسخ

تعریف : تابع $f:K \rightarrow R$ تعریف شده روی زیرمجموعه محدب K از $ R^{n} $ محدب قوی به هنگ ( پیمانه ) $ \rho $ نامیم اگر وجود داشته باشد عدد حقیقی $ \rho > 0$ به طوری که برای همه $x,y \in K$و $ \lambda \in [0,1]$ داشته باشیم

$f((1- \lambda )x+ \lambda y)+ \rho \lambda (1- \lambda ) \parallel y-x \parallel ^{2} \leq (1- \lambda )f(x)+ \lambda f(y)$

قضیه : تابع مشتق پذیر f محدب قوی به پیمانه $ \rho $ می باشد اگر و تنها اگر برای هر $x,y$

$ < \bigtriangledown f(x),y-x > + \rho \| y-x \| ^{2} \leq f(y)-f(x)$

قضیه zhu و marcotte :فرض کنیم k یک زیرمجموعه محدب باز از $ R^{n} $ و $f:k \rightarrow R$ به طور پیوسته مشتق پذیر باشد.اگر گرادیان تابع حول k پیوسته لیپ شیتز با ثابت لیپ شیتز $ \kappa $ باشد آن گاه برای هر $x,y$

$ < \bigtriangledown f(x),y-x > + \rho \| y-x \| ^{2} \geq f(y)-f(x) $

قضیه : اگر f یک تابع محدب قوی دوبار مشتق پذیر با پیمانه $ \rho $ باشد آنگاه ماتریس هسیان $ H(x)= \bigtriangledown ^{2} f(x) $ به ازای هر x معین مثبت است.

قضیه : تابع دوبار مشتق پذیر f محدب قوی به پیمانه $ \rho $ است اگروتنها اگر $H(x)-2 \rho I$ برای هر x نیمه معین مثبت باشد.

توسط fatemeh20
@kazomano
آیا در قضیه های اول و چهارم شرط محدب بودن دامنه‌ی تابع رو داریم؟
توسط kazomano
+1
@fatemeh20
دامنه باید محدب باز و ناتهی باشه.اثبات قضایای بالا بسیار ساده می باشد.

برای مثال کتاب
 Generalized Convexity,
Nonsmooth Variational
Inequalities, and
Nonsmooth
نوشته Q. H. Ansariو....صفحات 34 تا 37 رو ببینید که براتون آپلود کردم http://trainbit.com/files/4525337884/Qamrul_Hasan_Ansari,_C._S._Lalitha,_Monika_Mehta.pdf
همچنین برای دیدن یک کاربرد این تعریف کتاب معروف بهینه سازی محدب boyd رو ببینید.
Optimization

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...