تعریف : تابع $f:K \rightarrow R$ تعریف شده روی زیرمجموعه محدب K از $ R^{n} $ محدب قوی به هنگ ( پیمانه ) $ \rho $ نامیم اگر وجود داشته باشد عدد حقیقی $ \rho > 0$ به طوری که برای همه $x,y \in K$و $ \lambda \in [0,1]$
داشته باشیم
$f((1- \lambda )x+ \lambda y)+ \rho \lambda (1- \lambda ) \parallel y-x \parallel ^{2} \leq (1- \lambda )f(x)+ \lambda f(y)$
قضیه : تابع مشتق پذیر f محدب قوی به پیمانه $ \rho $ می باشد اگر و تنها اگر برای هر $x,y$
$ < \bigtriangledown f(x),y-x > + \rho \| y-x \| ^{2} \leq f(y)-f(x)$
قضیه zhu و marcotte :فرض کنیم k یک زیرمجموعه محدب باز از $ R^{n} $ و $f:k \rightarrow R$ به طور پیوسته مشتق پذیر باشد.اگر گرادیان تابع حول k پیوسته لیپ شیتز با ثابت لیپ شیتز $ \kappa $ باشد آن گاه برای هر $x,y$
$ < \bigtriangledown f(x),y-x > + \rho \| y-x \| ^{2} \geq f(y)-f(x) $
قضیه : اگر f یک تابع محدب قوی دوبار مشتق پذیر با پیمانه $ \rho $ باشد آنگاه ماتریس هسیان
$ H(x)= \bigtriangledown ^{2} f(x) $ به ازای هر x معین مثبت است.
قضیه : تابع دوبار مشتق پذیر f محدب قوی به پیمانه $ \rho $ است اگروتنها اگر $H(x)-2 \rho I$ برای هر x نیمه معین مثبت باشد.
