فرض کنید $I\subseteq \mathbb R$ یک بازه باشد. تابع $f:I\to \mathbb R$ را محدب گوییم هرگاه به ازای هر $x,y\in I$ و هر $0\leq \lambda\leq 1 $ داشته باشیم:
$$f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq (1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$$
و اگر نامساوی بالا رو برعکس کنید به آن مقعر گویند یعنی به عبارت دیگر تابع $f$ را مقعر گویند هر گاه $-f$ محدب باشد.
می توانید قضیه زیر را اثبات کنید:
قضیه: گزاره های زیر معادل اند:
- $f$ تابعی محدب است.
- به ازای هر سه نقطه $x< y< z$ متعلق به $I$ داریم:
$$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\leq \frac{f(z)-f(x)}{z-x}\leq \frac{f(z)-f(y)}{z-y}$$
- به ازای هر $a\in I$ تابع $t\to \frac{f(t)-f(a)}{t-a}$ که بر $I\setminus \{a\}$ معین است صعودی است.
- به ازای هر سه نقطه $x< y< z$ متعلق به $I$ دترمینان زیر نامنفی است :
$$\begin{vmatrix}1&1&1\\ x&y&z\\ f(x)&f(y)&f(z)\end{vmatrix}\geq 0$$
به علاوه می توان ثابت کرد که هر تابع محدب در هر نقطه درونی بازه $I$ دارای مشتق چپ و راست است و در هر نقطه درونی دلخواه پیوسته است.
همچنین چنانچه تابع $f:I\to \mathbb R$ مشتق پذیر باشد می توان نشان داد این تابع محدب است اگر و تنها اگر $f'$ صعودی باشد. و چنانچه $f$ دارای مشتق دوم باشد این بدان معناست که تابع $f$ محدب است اگر و تنها اگر $f''\geq 0$ .
