آیا دو بازهٔ بسته وجود دارند که اشتراک آنها مجموعهای باز و ناتهی شود؟

Question

دو بازهٔ بسته مثال بزنید که اشتراک آنها تهی نباشد و مساوی مجموعه‌ای باز شود؟

ویرایشگر: پرسش‌کننده توضیح بیشتری نیاورده‌است.

Comments

بازهٔ بسته منظورتان بازهٔ بسته با تعریف معمولی‌اش از محور اعداد حقیقی است دیگر؟ مجموعهٔ باز را چگونه تعریف می‌کنید؟ شما که احیانا از دانش‌آموز دوم دبیرستان انتظار ندارید در کتاب‌های ریاضی درسی‌اش در طول این ۱۰ سال تعریف توپولوژی یا حتی متریک را دیده‌باشد؟ منظورتان از مجموعهٔ باز را بنویسید.

---

@AmirHosein
با فرض اینکه تعریف مجموعه باز و بسته را هم بداند مگر اشتراک هر تعداد دلخواه مجموعه بسته مجموعه ای بسته نیست؟

---

مجموعه باز مثل بازه ی
 $(-2,1)$
 می باشد

---

@AmirHosein
بله منظور از بازه بسته یا باز یا نیم باز همان تعاریف دبیرستانی است.

---

@fardina بسته بودن یک مجموعه، الزاما به معنای باز نبودنش نیست. برای نمونه توپولوژی بدیهی گسسته را در نظر بگیرید. برای همین گفتم بهتر است دقیق بدانیم مجموعهٔ باز را چه معرفی کرده‌اند و بعید می‌دانم با توپولوژی یا متریک کار کنند چون پرسش دبیرستانی است. البته با توجه به پاسخ @behruz به دیدگاهم ظاهرا همان مجموعه‌های باز توپولوژی اقلیدسی مد نظر هستند یا بازه‌های باز که در نتیجه نظر شما بر اینکه حاصل باز نمی‌شود درست است.

---

@behruz لطفا عنوان‌های پرسش‌هایتان را ویرایش کنید، کار درستی نیست پرسشی را قرار دهید و دیگر به آن کاری نداشته‌باشید در حالیکه نیاز به ویرایش دارد. برای نمونه «مجموعه ریاضی دهم» در شرایط یک عنوان مناسب صدق نمی‌کند.
به هر حال، در کجای کتاب ریاضیِ دوم دبیرستان دیده‌اید چنین ادعایی کرده باشد که دو بازهٔ بسته به شکل $[a,b]$ که $a$ و $b$ دو عدد حقیقی (در نتیجه متناهی) هست که اشتراک ناتهی و باز داشته‌باشند یا چنین تمرینی داده‌باشد؟ من درس ۱ و ۲ فصل ۱ کتاب ریاضی پایه ۱۰ ریاضی‌فیزیک جدید را از این پیوند نگاه کردم http://chap.sch.ir/books/7120 هیچ چیزی با این مفهوم ندیدم. شبیه‌ترین مطلب تمرین ۳ درس ۱ بود که می‌گوید «دو مجموعهٔ نامتناهی مثال بزنید که اشتراک آنها مجموعه ای متناهی باشد» و ربطی به بازه یا باز و بسته بودن ندارد.

Answer 1

ابتدا اینکه در کتابی که به عنوان مرجع اشاره‌کرده‌اید مجموعهٔ باز تعریف نمی‌شود و تنها بازهٔ باز تعریف می‌شود. بازهٔ بسته نیز تنها برای بازه‌های بستهٔ کراندار در کتاب تعریف شده‌است. اگر خود را به این مرجع محدود کنیم آنگاه پاسخ خیر است چون اشتراک دو بازهٔ بستهٔ کراندار یکی از سه حالت زیر می‌شود؛ ۱- تهی، ۲- تک‌نقطه‌ای، ۳- بازهٔ بستهٔ کراندار. که هیچ یک، بازه‌ای باز، چه کراندار، چه بیکران، نمی‌شود. اکنون بازهٔ بستهٔ بیکران را نیز در نظر بگیرید که در واقع به آنها معمولا پرتوی بسته¹ می‌گویند و به شکل $[a,\infty)$ یا $(-\infty,a]$ برای عدد حقیقی $a$ای هستند. اشتراک دو پرتوی بسته نیز هرگز یک بازهٔ باز یا پرتوی باز نخواهد شد، بلکه به یکی از شکل‌های زیر درخواهدآمد؛ ۱- تهی، ۲- تک‌نقطه‌ای، ۳- بازهٔ بستهٔ کراندار، ۴- پرتوی بسته. اکنون اگر باز فراتر برویم و همهٔ $\mathbb{R}=(-\infty,\infty)$ را هم بازه بشماریم، آنگاه این مجموعه هم باز است هم بسته و اشتراکش با خودش برابر خودش است. در این حالت پاسخ پرسش شما بلی خواهدشد.

---

1. در انگلیسی ray که ترجمهٔ فارسی آن «پرتو» (مانند پرتو /شعاع /اشعه نور) می‌شود. ↩︎

Comments

@AmirHosein
در کتاب Geometry نوشته
 Israel M. Gelfand
Tatiana Alekseyevskaya (Gelfand)
چاپ 2020 انتشارات springer کلمه ray رو به معنی نیم خط (half-line) هم درنظر گرفته.

---

@kazomano بلی، ایدهٔ گزینش (انتخاب) واژهٔ ray در واقع این است که در بحث نور و فیزیک شما یک منبع نقطه‌ای نور که داشته‌باشید و یک پرتوی نور آن را در یک محیط با شرایط ایده‌آل، خلأ و غیره و بدون دخالت چیز دیگری که در نظر بگیرید یک نیم‌خطِ همان هندسهٔ معمولی (اقلیدس) است که از یک نقطه شروع شده و از سمت دیگر بی‌پایان است. مجموعه‌های $[a,\infty)$ و غیره که اشاره شد نیز به نیم‌خط و پرتوی نور اشاره شده شبیه هستند.