معادله درجهٔ ۲ ای بنویسید که ریشههایش، $x_1$ و $x_2$ در دستگاه معادلات $x_1x_2+x_1+x_2-m=0$ و $x_1x_2-m(x_1+x_2)+10=0$ صدق کنند.

Question

معادلهٔ درجهٔ دوئی بنویسید که میان ریشه‌هایش روابط زیر برقرار باشند.

$$\begin{align} x_1x_2+x_1+x_2-m &= 0\\ x_1x_2-m(x_1+x_2)+10 &= 0 \end{align}$$

Comments

فکر کنم باید از رابطه بین ریشه ها استفاده کنی :
$ax^2+bx+c=0$
$x_{1}  x_{2} = \frac{c}{a}$
$x_{1} + x_{2} =- \frac{b}{a}$
منظور از $m$ تو سوال همون ضریب $x^2$ یا چیز دیگه ایه ؟

---

m که فقط یه مجهول تو معادله دوم می تونین به جای اون بنوسید x1x2+x1+x2 و عبارت اینجوری حل کنید (اگر s مجوع دو ریشه و p حاصل ضرب دو ریشه باشد)
p-s(p+s)+10=0

Answer 1

راهنمایی که @A_Math_L کردند درست است. اما چگونه $x_1+x_2$ و $x_1x_2$ را بیابیم؟ توجه کنید که اگر برابری دوم را از برابری نخست کم کنیم آنگاه $x_1x_2$ خط می‌خورد و یک معادله بر حسب $(x_1+x_2)$ خواهیم داشت.

$$(m+1)(x_1+x_2)-m-10=0\Longrightarrow x_1+x_2=\frac{m+10}{m+1}$$

اکنون مقدار بدست‌آمده را در برابری نخست جایگذاری کنید.

$$(x_1x_2)+\frac{m+10}{m+1}-m=0\Longrightarrow x_1x_2=\frac{m^2-10}{m+1}$$

پس در نهایت دارید که $x_1$ و $x_2$ ریشه‌هایی از برابریِ درجهٔ دوی زیر هستند.

$$x^2-\frac{m+10}{m+1}x+\frac{m^2-10}{m+1}=0$$