چرا هر ماتریس حقیقی متقارنی، قطری شدنی است؟

Question

ثابت کنید هر ماتریس حقیقی متقارنی، قطری‌شدنی است.

ویرایشگر: پرسش‌کننده توضیح بیشتری وارد نکرده‌است.

Comments

@rooz6868 چرا برچسب پرسش را گراف گذاشته‌اید؟ حتی اگر در مطلبی مرتبط با گراف آن را می‌خواهید به کار ببرید، خود پرسش، پرسشی جبرخطی است و چیزی از گراف در پرسش مشاهده نمی‌شود. برچسب را تغییر دادم. لطفا در برچسب‌گذاری بیشتر دقت کنید.

Answer 1

اینکه یک ماتریس متقارن حقیقی تنها می‌تواند مقدارویژه‌های حقیقی بگیرد را انتظار دارم بدانید (تمرین عادی درس جبرخطی است).

اگر با مبحث قطری‌شدنی آشنا باشید می‌دانید که یک ماتریس حقیقی در دو حالت از قطری‌شدنی باز می‌ماند. یکی اینکه مقدار ویژهٔ مختلط داشته‌باشد و دیگری اینکه مقدارویژهٔ تکراری با مرتبهٔ نایک داشته‌باشد. حالت یکم که اینجا رخ نمی‌دهد پس برویم سراغ حالت دوم. فرض کنید $\lambda$ یک مقدار ویژهٔ تکراری برای ماتریس حقیقی متقارن $A$ با مرتبهٔ $n$ باشد. به یاد آورید که مرتبهٔ مقدار ویژه برابر بود با کمترین توان ‌$(A-\lambda I)$ به آن توان ضربدر هر بردار ویژهٔ $\lambda$ برابر صفر می‌شد ولی برای مقدار کمتر از آن خیر. اگر $n$ بیشتر از یک باشد پس بردار ویژه‌ای مانند $v$ هست که $(A-\lambda I)^{n-1}v\neq 0$ ولی $(A-\lambda I)^nv=0$ قرار دهید $u=(A-\lambda I)^{n-2}v$ در آنصورت داریم $(A-\lambda I)u\neq 0$ و $(A-\lambda I)^2u=0$ . می‌دانید که ضرب ترانهادهٔ یک بردار در خود بردار برابر با نرم‌اقلیدسی‌اش می‌شود و نرم‌ یک بردار ناصفر، ناصفر است. پس داریم $$\Big((A-\lambda I)u\Big)^t\Big((A-\lambda I)u\Big)\neq 0$$ از طرف دیگر $$\begin{array}{lll} 0=u^t\cdot 0 & = & u^t\Big((A-\lambda I)^2 u\Big)\\ & = & \Big(v^t(A-\lambda I)\Big)\Big((A-\lambda I)v\Big)\\ & = & \Big((A-\lambda I)^t(v^t)^t\Big)^t\Big((A-\lambda I)v\Big)\\ & = & \Big((A-\lambda I)v\Big)^t\Big((A-\lambda I)v\Big) \end{array}$$ پس به تناقض خوردیم. از آنجا فرض اینکه مرتبهٔ بردارویژه‌های تکراری یک ماتریس متقارن حقیقی بیشتر از یک باشد روی نمی‌دهد.

یک منبع خیلی سریع برای مرور فرم‌های استاندارد ماتریس‌های حقیقی فصل پنج کتاب Differential equations, Dynamical systems, and an introduction to Chaos نوشتهٔ Hirsch، Smale و Devaney است به ویژه بخش ۶ این فصل را نگاه کنید. البته دوستان در ایران نسخهٔ ترجمه‌اش را آماده کرده‌اند. تا آنجا که خبر دارم احتمالا در چند بخش چاپ کنند، این بخش در قسمت یکم قرار دارد. ولی هنوز خبری از چاپش نشنیده‌ام.