مجموعه اندازه پذیر

Question

صفحه مختصات $ R^2 $ در نظر بگیرید . اگر $ \Omega $ یک مجموعه باشد که عضو های آن زیر مجموعه های $R^2$باشد .آنگاه اگر:

الف )$R^2 \in \Omega $

ب) هرگاه $ A\in \Omega $ آنگاه $ A^c=R^2-A \in \Omega $

ج)هرگاه $ A= \bigcup_{n=1}^ \infty A_{n} $ و به ازای $A_{n}\in \Omega ,n=1,2,3.... $ آنگاه $ A\in \Omega $

$ \Omega $ را ($ -\Sigma $ جبر) گوییم . و عضو های آن را مجموعه های اندازه پذیر گوییم .

حالا اگر $B\in R^2$ باشد. چگونه نشان دهیم اندازه پذیر است . مثلا مستطیل و متوازی الضلاع مثلث و...

Comments

نوشتید حال اگر $B\in R^2$ در حالیکه باید می نوشتید $B\subset R^2$ .

Answer 1

بستگی به این دارد که سیگماجبر شما چه باشد. ممکن است در سیگماجبری مستطیل اندازه پذیر باشد اما در سیگماجبری دیگر چنین نباشد.

به عنوان مثال های خیلی بدیهی اگر $\Omega=\{\emptyset, \mathbb R^2\}$ در اینصورت تنها مجموعه های اندازه پذیر ما مجموعه تهی و $\mathbb R^2$ خواهند بود. یا اگر $\Omega=\mathcal P(\mathbb R^2)$ مجموعه توانی $\mathbb R^2$ باشد(یعنی مجموعه ی تمام زیر مجموعه های $\mathbb R^2$ )در اینصورت هر مجموعه ای را در صفحه در نظر بگیرید مثل هر مستطیلی یا دایره ای یا ... حتما اندازه پذیر است. یا اگر $B$ یک دایره به شعاع یک و مرکز مبدا باشد در اینصورت گردایه $\{\emptyset, B, B^c,\mathbb R^2\}$ باز یک سیگماجبر است واضح است که دایره یکه به مرکز مبدا اندازه پذیر است ولی دایره به مرکزی دیگر یا شعاعی دیگر اندازه پذیر نخواهد شد.

به عنوان مثالی غیر بدیهی سیگماجبر را کوچکترین سیگماجبری بگیرید که شامل همه مجموعه های باز $\mathbb R^2$ باشد. چنین سیگماجبری را سیگماجبر بورل گوییم. در اینصورت همه ی مجموعه های باز یا بسته یا اشتراک و اجتماعی شمارا از این مجموعه ها همچنان اندازه پذیر خواهد بود و ...

بهرحال در حالت کلی برای نشان دادن اندازه پذیری مجموعه ای باید از تعریف استفاده کنید مثلا آن را به صورت اجتماعی(اشتراکی) شمارا از اعضای سیگماجبر بنویسید یا از قضایایی که در این مورد وجود دارند استفاده کنید. احتمالا شما تازه با این مبحث آشنا شدید و بهتر است کتابی که به شما معرفی شده است را فعلا مطالعه کنید مطمئنا پاسخ سوالاتی اینچنینی را خواهید یافت.