به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
86 بازدید
در دانشگاه توسط مهرداد46

نشان دهید فاصله ریشه های متوالی عدد مختلط باهم برابر است

W را ریشه فرض میکنیم

| w0×w1 | = | w1×w2 |

توسط fardina
منظورتون از $w_0\times w_1$ چیست؟
توسط مهرداد46
اشتباه تایپی بود منظور فاصله w0 w1 بود

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط fardina

از نظر هندسی ریشه های $n$-ام $z=e^{i\theta}$ برابر است با نقاطی روی دایره به مرکز مختصات و شعاع واحد که دایره را به $n$ قسمت تقسیم می کنند. لذا واضح است که فاصله هر دو ریشه متوالی با هم برابر است. مثلا ریشه های پنجم $1=1e^{i(0)}$ برابر است با $1^{\frac 1n}=e^{i(\frac {2k\pi}5)}=1,e^{i\frac{2\pi}5},e^{i(\frac{4\pi}{5})},e^{i(\frac{6\pi}5)},e^{i(\frac{8\pi}5)}$

این ریشه ها با نقاط آبی در شکل زیر(از ویکی پدیا) نمایش داده شده اند.

wikipedia

حال اگر بخواهیم نشان دهیم فاصله ریشه های متوالی این نقاط آبی با هم برابر است یعنی پاره خط هایی که این نقاط آبی را به هم وصل کرده اند طول برابر دارند چکار کنیم؟ اگر این پاره خط ها رسم کنید واضح است که مثلث ها با حالت دو ضلع و زاویه بین همنهشت اند و لذا این پاره خط ها برابرند.

اما در حالت کلی چون ریشه های $n$ام عدد $z=re^{i\theta}$ به صورت $r^{\frac 1n}e^{i(\frac\theta n+\frac{2k\pi}{n})}$ هستند دو ریشه متوالی عبارت خواهد بود از $r^{\frac 1n}e^{i(\frac\theta n+\frac{2k\pi}{n})} $ و $r^{\frac 1n}e^{i(\frac\theta n+\frac{2(k+1)\pi}{n})}$ که فاصله آنها برابر خواهد بود با: $$ |r^{\frac 1n}e^{i(\frac\theta n+\frac{2k\pi}{n})}-r^{\frac 1n}e^{i(\frac\theta n+\frac{2k\pi}{n})}e^{\frac{2\pi i}{n}}|=r^{\frac 1n}|1-e^{\frac{2\pi i}{n}}| $$ که همواره ثابت است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...