به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
0 امتیاز
68 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

نشان دهید فاصله ریشه های متوالی عدد مختلط باهم برابر است

W را ریشه فرض میکنیم

| w0×w1 | = | w1×w2 |

دارای دیدگاه توسط
منظورتون از $w_0\times w_1$ چیست؟
دارای دیدگاه توسط
اشتباه تایپی بود منظور فاصله w0 w1 بود

1 پاسخ

0 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

از نظر هندسی ریشه های $n$-ام $z=e^{i\theta}$ برابر است با نقاطی روی دایره به مرکز مختصات و شعاع واحد که دایره را به $n$ قسمت تقسیم می کنند. لذا واضح است که فاصله هر دو ریشه متوالی با هم برابر است. مثلا ریشه های پنجم $1=1e^{i(0)}$ برابر است با $1^{\frac 1n}=e^{i(\frac {2k\pi}5)}=1,e^{i\frac{2\pi}5},e^{i(\frac{4\pi}{5})},e^{i(\frac{6\pi}5)},e^{i(\frac{8\pi}5)}$

این ریشه ها با نقاط آبی در شکل زیر(از ویکی پدیا) نمایش داده شده اند.

wikipedia

حال اگر بخواهیم نشان دهیم فاصله ریشه های متوالی این نقاط آبی با هم برابر است یعنی پاره خط هایی که این نقاط آبی را به هم وصل کرده اند طول برابر دارند چکار کنیم؟ اگر این پاره خط ها رسم کنید واضح است که مثلث ها با حالت دو ضلع و زاویه بین همنهشت اند و لذا این پاره خط ها برابرند.

اما در حالت کلی چون ریشه های $n$ام عدد $z=re^{i\theta}$ به صورت $r^{\frac 1n}e^{i(\frac\theta n+\frac{2k\pi}{n})}$ هستند دو ریشه متوالی عبارت خواهد بود از $r^{\frac 1n}e^{i(\frac\theta n+\frac{2k\pi}{n})} $ و $r^{\frac 1n}e^{i(\frac\theta n+\frac{2(k+1)\pi}{n})}$ که فاصله آنها برابر خواهد بود با: $$ |r^{\frac 1n}e^{i(\frac\theta n+\frac{2k\pi}{n})}-r^{\frac 1n}e^{i(\frac\theta n+\frac{2k\pi}{n})}e^{\frac{2\pi i}{n}}|=r^{\frac 1n}|1-e^{\frac{2\pi i}{n}}| $$ که همواره ثابت است.

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...