Question

ثابت کنید $ \sum\limits_{cyc}^{} {\frac{a}{b+c}}\ge 2 $.وقتی که متغیر های $a,b,c,d$ موجود است.

سپس ثابت کنید تساوی تنها زمانی برقرار است که$a=b=c=d$

منظور از سوال اثبات این نامساوی است:

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{a+d}+\frac{d}{a+b} \ge 2$

خوب بعد دو روز تونستم نامساوی رو اثبات کنم:

$\sum\limits_{cyc}\frac{a}{b+c}=\sum\limits_{cyc}\frac{a^2}{ab+ac} $

با استفاه از کوشی داریم:

$\sum\limits_{cyc}\frac{a^2}{ab+ac} \ge \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da+2ac+2bd}=\frac{(a+b+c+d)^2}{(a+c)(b+d)+2ac+2bd}$

حال کافی است ثابت کنیم عبارت اخر بزرگتر مساوی دو است.که نتیجه می دهد:

$(a+b+c+d)^2=(a+c)^2+(b+d)^2+2(a+c)(b+d) \ge 4ac +4bd+2(a+c)(b+d)$

که چون داریم$(x+y)^2 \ge 4xy$ نامساوی اخر بدیهی است پس داریم:

$\sum\limits_{cyc}\frac{a}{b+c} \ge 2$

حال کافی است ثابت کنیم تساوی تنها زمانی برقرار است که$a=b=c=d$.

Comments

متغیرها باید نامنفی باشند.

میشه فقط با استفاده نامساوی واسطه حسابی هندسی مسئله رو حل کرد

---

بله متغیر ها نامنفی هستند.چه طور میشه با حسابی-هندسی اثبات کرد؟

Answer 1

$( \frac{a}{b+c} + \frac{c}{d+a} )+( \frac{b}{c+d} + \frac{d}{a+b} )=( \frac{ a^{2} +ad+bc+ c^{2} }{(b+c)(a+d)} )+( \frac{ b^{2} +ab+cd+ d^{2} }{(c+d)(a+b)} )$ $ \frac{(b+c)+(a+d)}{2} \geq \sqrt{(b+c)(a+d)} \longrightarrow \frac{1}{(b+c)(a+d)} \geq \frac{4}{ (a+b+c+d)^{2} } $

پس

$ebarat \geq 4( \frac{a^{2} +ad+bc+ c^{2} }{(a+b+c+d)^{2}} )+4( \frac{b^{2} +ab+cd+ d^{2}}{ (a+b+c+d)^{2}} )= \frac{2}{ (a+b+c+d)^{2}} ( (a+b+c+d)^{2}+ (a-c)^{2} + (b-d)^{2} ) \geq 2 $

Comments

خوب مشکل اصلی اینه که حالت تساوی رو اثبات کنیم که فقد در اون حالت اتفاق می افته.

---

از راه حل واضحه که حالت تساوی در حالت تساوی متغیرها رخ میده و نیاز به اثبات نداره.

---

بله اما منظور من گزاره تنها اگر هست.به نظر من کلی عدد هستند که حالت تساوی را تشکیل می دهند.

---

چندتا عدد مثال بزنید که باهم مساوی نباشن و تساوی رو نتیجه بدن