به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
1,369 بازدید
در دانشگاه توسط pop

سلام. فرق مشتق جهتی با مشتق غیر جهتی چیه ؟ ایا گرادیان هم مشتق جهتی حساب میشه؟ ممنون

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina

یک تابع دیفرانسیل پذیر $f:\mathbb R^n\to \mathbb R^m$ در نظر بگیرید. در اینصورت مشتق $f$ در هر نقطه مثل $x$ که با $Df(x)$ نمایش می دهیم یک تابع خطی از $\mathbb R^n$ به $\mathbb R^m$ است که در شرط زیر صدق می کند:

$$\lim_{h\to 0}\frac{\| f(x+h)-f(x)-Df(x)(h)\|}{\|h\|}=0$$

ولی مشتق در جهت بردار $u$ در یک نقطه مثل $x$ که با $D_uf(x)$ نمایش می دهیم در واقع یک بردار در $\mathbb R^m$ است که

$$\lim_{t\to 0}\frac{f(x+tu)-f(x)}{t}=D_uf(x)$$

پس یکی تابع خطی است در حالیکه دیگری بردار است.

می توان ثابت کرد چنانچه $f$ در $x$ دیفرانسیل پذیر باشد آنگاه اگر تابع خطی $Df(x)$ را در $u$ حساب کنیم یعنی $Df(x)(u)$ برابر خواهد بود با $D_uf(x)$ .


حال فرض کنید $f:\mathbb R^n\to \mathbb R$ در اینصورت مشتق آن در هر نقطه تابع خطی $Df(x):\mathbb R^n\to \mathbb R$ است در حالیکه مشتق جهت دار آن اسکالر $D_uf(x)$ خواهد بود(توجه کنید که در این حالت برد $\mathbb R$ است لذا مشتق جهتی یک اسکالر در $\mathbb R$ است)

همچنین با شرط دیفرانسیل پذیری تابع $f:\mathbb R^n\to \mathbb R$ می توانید ثابت کنید که بردار یکتای $v_x\in\mathbb R^n$ موجود است که $Df(x)(u)=D_uf(x)=v_x.u$

منظور از $v_x.u$ ضرب نقطه ای این دو بردار است.

به عبارت دیگر چنانچه تابع دیفرانسیل پذیر باشد، مشتق جهت دار را می توان برحسب ضرب نقطه ای بیان کرد.

این بردار یکتا را گرادیان $f$ در $x$ گوییم و با $ \nabla _xf $ یا $\nabla f(x)$نمایش می دهیم. پس توجه کنید گرادیان یک بردار در $\mathbb R^n$ است در حالیکه مشتق جهت دار یک اسکالر در $\mathbb R$ . می توان نشان داد: $$\nabla f(x)=(D_1f(x),D_2f(x),...,D_nf(x))$$

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...