یک
$k$
-جبر را همیشه میتوان به شکل خارج قسمت یک حلقهٔ چندجملهایها نوشت. در واقع اگر
$K$
یک
$k$
-جبر با یک مولد متناهی، برای نمونه
$n$
عضوی باشد آنگاه
$K$
یکریخت
$k$
-جبری است با
$\dfrac{k[x_1,\cdots,x_n]}{I}$
به ازای یک
$I$
. اگر هم نامتناهی باشد آنگاه باید در نمادگذاری مراقب باشید برای نمونه فرض کنید یک مولد برای آن
$A$
، یک مجموعه با عدد اصلی
دلخواه
باشد آنگاه
$K\cong\dfrac{k[x_a|a\in A]}{I}$
. تصویر یک
$k$
-همریختی جبری همواره با مشخص کردن اثرش روی عناصر یک مولد آن که متعالی باشد به شکل یکتا مشخص میشود. پس کافیست بدانیم اثر
$\phi$
روی
$x_i$
ها چه میشود. هستهٔ یک
$k$
-همریختی جبری از
$\dfrac{k[x_i|i]}{I}$
به
$k$
برابر میشود با ایدهآل
$\dfrac{\langle x_i-\phi(x_i)|i\rangle}{I}$
که دقیقا چون بوسیلهٔ عاملهای
$x_i-\phi(x_i)$
تعریف میشود از روی خود همریختی به طور یکتا معین میشود یعنی دو
$k$
-همریختی جبری از یک
$k$
-جبر به میدان زمینهاش یعنی
$k$
هرگز هستهٔ یکسان نخواهند داشت. این هستهها ایدهآل بیشینه و در نتیجه ایدهآل اول نیز هستند پس عضو
$Spec(K)$
میشوند. در نتیجه تایعی که در پرسش تعریف کردهاید خوشتعریف و یک به یک است.
اما اگر در حال فکر کردن به این هستید که بیایید
$Spec(K)$
را با این مجموعه یکی بگیرید درست نیست چون تابعتان پوشا نمیشود. حتی اگر به جای
$Spec(K)$
به
$\mathcal{m}-spec(K)$
مجموعهٔ ایدهآلهای بیشینهٔ
$K$
همدامنه را کاهش دهید نیز پوشا نخواهد شد مگر اینکه میدان زمینه بستهٔ جبری باشد.
