یک به یک بودن نگاشت $i:Hom(A,k) \rightarrow spec A$

Question

فرض کنیم $k$ یک میدان دلخواه و $A$ یک $k$-جبر باشد. نگاشت $i:Hom(A,k) \rightarrow spec A$ را با ضابطه $\varphi \rightarrow ker( \varphi )$ در نظر بگیرید. چون $k$ یک میدان است، بنابراین $ker( \varphi )$ یک ایده‌آل اول است و بوضوح این نگاشت خوش تعریف است. نشان دهید نگاشت $i$ یک به یک است؟

Answer 1

یک $k$ -جبر را همیشه می‌توان به شکل خارج قسمت یک حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها نوشت. در واقع اگر $K$ یک $k$ -جبر با یک مولد متناهی، برای نمونه $n$ عضوی باشد آنگاه $K$ یکریخت $k$ -جبری است با $\dfrac{k[x_1,\cdots,x_n]}{I}$ به ازای یک $I$ . اگر هم نامتناهی باشد آنگاه باید در نمادگذاری مراقب باشید برای نمونه فرض کنید یک مولد برای آن $A$ ، یک مجموعه با عدد اصلی دلخواه باشد آنگاه $K\cong\dfrac{k[x_a|a\in A]}{I}$ . تصویر یک $k$ -همریختی جبری همواره با مشخص کردن اثرش روی عناصر یک مولد آن که متعالی باشد به شکل یکتا مشخص می‌شود. پس کافیست بدانیم اثر $\phi$ روی $x_i$ ها چه می‌شود. هستهٔ یک $k$ -همریختی جبری از $\dfrac{k[x_i|i]}{I}$ به $k$ برابر می‌شود با ایده‌آل $\dfrac{\langle x_i-\phi(x_i)|i\rangle}{I}$ که دقیقا چون بوسیلهٔ عامل‌های $x_i-\phi(x_i)$ تعریف می‌شود از روی خود همریختی به طور یکتا معین می‌شود یعنی دو $k$ -همریختی جبری از یک $k$ -جبر به میدان زمینه‌اش یعنی $k$ هرگز هستهٔ یکسان نخواهند داشت. این هسته‌ها ایده‌آل بیشینه و در نتیجه ایده‌آل اول نیز هستند پس عضو $Spec(K)$ می‌شوند. در نتیجه تایعی که در پرسش تعریف کرده‌اید خوش‌تعریف و یک به یک است.

اما اگر در حال فکر کردن به این هستید که بیایید $Spec(K)$ را با این مجموعه یکی بگیرید درست نیست چون تابعتان پوشا نمی‌شود. حتی اگر به جای $Spec(K)$ به $\mathcal{m}-spec(K)$ مجموعهٔ ایده‌آل‌های بیشینهٔ $K$ هم‌دامنه را کاهش دهید نیز پوشا نخواهد شد مگر اینکه میدان زمینه بستهٔ جبری باشد.

Comments

چرا هسته‌ی یک $k$ همریختی جبری از$ \dfrac{k[x_i|i]}{I}$به $k$ ایده‌آل  
$\dfrac{\langle x_i-\phi(x_i)|i\rangle}{I}$ می‌شود؟
آیا می‌توان برای هر $k$همریختی جبری مانند      $ \varphi:A\rightarrow B$  هسته‌ی آن را مانند بالا نوشت؟

---

ابتدا باید نمایش خارج قمستی $A$ از یک حلقهٔ چندجمله‌ای با تعداد متغیر برابر با درجهٔ تعالی $A$ را بدست آورید (که در پاسخ اشاره شده‌است)، سپس تعریف هسته را بنویسید.

اگر نمی‌دانید چرا یک $k$-جبر دارای چنین نمایشی است، می‌توانید در قالب یک پرسش جدا بپرسید.