برای یک ماتریس پادمتقارن $A$ ماتریس $I-A$ وارون‌پذیر و ماتریس $(I-A)^{-1}(I+A)$ متعامد است.

Question

اگر $A$ پادمتقارن باشد یعنی $A^t=-A$ آنگاه ثابت کنید $I-A$ وارون‌پذیر است و $((I-A)^{-1}(I+A)$ ماتریسی متعامد است.

Answer 1

ماتریس $A$ پادمتقارن است. از این ویژگی‌ می‌خواهیم استفاده کنیم. نخست به یاد آورید که یکی از شرط‌های هم‌ارز وارون‌پذیری یکتا بودن پاسخ دستگاه همگن $Av=0$ می‌بود یعنی باید تنها پاسخ این دستگاه بردار صفر شود. اینجا می‌خواهیم وارون‌پذیری ماتریس $I-A$ را بررسی کنیم پس باید این شرط را روی این ماتریس پیاده کنیم.

$$\begin{array}{ll} (I-A)v=0 & \Longrightarrow v-Av=0\\ & \Longrightarrow v=Av \end{array}$$ اکنون از نرم استفاده می‌کنیم. می‌دانیم که یک بردار صفر است اگر و تنها اگر نرم آن صفر شود. $$\begin{array}{ll} ||v||=v^tv & =v^t(Av)=v^tAv\\ & =(Av)^tv=v^tA^tv=v^t(-A)v=-v^tAv \end{array}$$ در نتیجه $$\begin{array}{l} \Longrightarrow v^tAv=-v^tAv\\ \Longrightarrow v^tAv=0\\ \Longrightarrow ||v||=0\\ \Longrightarrow v=0 \end{array}$$ پس وارون‌پذیریِ $I-A$ ثابت شد.

اینک قسمت دوم پرسش. یک ماتریس متعامد بود اگر ضربش در ترانهاده‌اش، همانی می‌شد (در حالت مختلط هرمیتی استفاده می‌شود که احتمالا خواست پرسش‌گر نبوده‌است). پس بیاییم تعریف را روی ماتریس $(I-A)^{-1}(I+A)$ پیاده کنیم.

$$\begin{array}{ll} \Big((I-A)^{-1}(I+A)\Big)\Big((I-A)^{-1}(I+A)\Big)^t & =(I-A)^{-1}(I+A)(I+A)^t\big((I-A)^{-1}\big)^t\\ & =(I-A)^{-1}(I+A)(I-A)\big((I-A)^t\big)^{-1}\\ & =(I-A)^{-1}(I+A)(I-A)(I+A)^{-1}\\ & =(I-A)^{-1}(I-A)(I+A)(I+A)^{-1}\\ & =I \end{array}$$ توجه کنید که در اثبات بالا در تساوی چهارم دو ماتریس میانی را جابجا کردیم. همیشه این کار ممکن نیست. چیزی که اینجا استفاده شده است این است که؛ $$(I+A)(I-A)=I+A-A-A^2=I-A+A-A^2=(I-A)(I+A)$$