تفاوت دو ماتریس unitary (یکانی ) و (متعامد یکه )orthonormal چیست ؟

Question

لطفا تفاوت دو ماتریس unitary (یکانی ) و (متعامد یکه )orthonormal را بطور کامل با ذکر مثال توضیح دهید.

Answer 1

ماتریس مربعی $A$ را $unitary$ مینامیم هرگاه $A A^{* } =A^{* }A=I$ که در آن $A^{* }$ برابر ترانهاده مزدوج $A$ است(در ماتریس ترانهاده مزدوج درایه ها را در نظر بگیریم.) بطور مثال ماتریس $A= \frac{1}{2} \begin{bmatrix}1+i & 1-i \\1-i & 1+i \end{bmatrix}$ یک ماتریس $unitary$ است زیرا ترانهاده مزدوج آن برابر است با $A^{* }= \frac{1}{2} \begin{bmatrix}1-i & 1+i \\1+i & 1-i \end{bmatrix}$ و همچنین $A^{*}A=I$ است.

نکته:دقت کنید که اگر درایه ها حقیقی باشند مزدوجشون خودشون می شوند و ترانهاده مزدوج همان ترانهاده ماتریس خواهد بود.

اما ماتریس $A$ با درایه های حقیقی را متعامد یکه میگوییم هرگاه $A A^{T} =A^{T}A=I$ که در آن $A^{T}$ همان ماتریس ترانهاده $A$است.

در واقع با توجه به نکته بالا هر ماتریس $unitary$ با درایه های حقیقی ماتریس متعامد یکه است و برعکس هر ماتریس متعامد یکه یک ماتریس $unitary$ است.

به عنوان مثال ماتریس $\begin{bmatrix}2 & -2 &1 \\1 & 2 &2 \\2 & 1 &-2 \end{bmatrix}$ متعامد یکه و لذا $unitary$ است.

Answer 2

ماتریس متعامد orthonormal دارای درایه های فقط حقیقی می باشد که ترانهاده ماتریس با وارون ماتریس برابر است ولی ماتریس یکانی مدل مختلط ماتریس یکانی می باشد