حاصل عبارت $\frac{ \sin^{8} x}{ a^{3} } + \frac{ \cos^{8}x }{ \cos^{3}x }$

Question

اگر $\frac{\sin^{4}x }{a} + \frac{ \cos^{4}x }{b} = \frac{1}{a+b}$ عبارت زیر بر حسب a و b چیست؟

$$\frac{ \sin^{8} x}{ a^{3} } + \frac{ \cos^{8}x }{ b^{3}}$$

Comments

فرمول ها رو باید در بین علامت دلار بنویسید.

---

@abi79
سلام؛ به نظر من صورت سوال رو اشتباه نوشتین. صحیح اون به این صورته که
$\frac{ sin^{8} x}{ a^{3} } + \frac{ cos^{8}x }{ b^{3} }$

Answer 1

در ابتدا فرض کنید که $$z=\sin^2 x$$. در این صورت داریم:$$\frac{1}{a} z^2+\frac{1}{b}(1-z)^2=\frac{1}{a+b}$$ حالا این معادله رو حل میکنیم که فقط یک جواب به صورت زیر داره، $$z=\frac{a}{a+b}=\sin^2 x$$ همچنین می توان گفت که $$1-z=\frac{b}{a+b}=\cos^2 x$$حالا با جایگزین کردن مقادیر $\sin^2x$ و $\cos^2x$ در عبارت $\frac{ \sin^{8} x}{ a^{3} } + \frac{ \cos^{8}x }{ b^{3}}$ خواهیم داشت که $$\frac{{{{\sin }^8}(x )}}{{{a^3}}} + \frac{{{{\cos }^8}(x )}}{{{b^3}}} = \frac{1}{{{{(a + b)}^3}}}$$.